河南省南阳市淅川县2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{7}{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $- \frac{2}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{7}{2}$

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2. 中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪.2020年1月12日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒命名为2019－nCoV.该病毒的直径在0.000 000 08米～0.000 000 12米，将0.000 000 12用科学记数法表示为（）

A、12×10^－7m B、1.2×10^－7m C、1.2×10^－8m D、0.12×10^－6m

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3. 下列运算正确的是（）

A、a²a³＝a⁶ B、2a+3a＝5a² C、（a+b）²＝a²+b² D、（﹣ab²）³＝﹣a³b⁶

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4. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的 $∠ A = 120 °$ ，第二次拐的 $∠ B = 150 °$ ，第三次拐的 $∠ C$ ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 $∠ C$ 是（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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5. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、x²＝2x B、x²－2x＝－1 C、2x²－1＝x D、2x²－2x+1＝0

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7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（）

A、 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x}$ B、 $\frac{6210}{x - 1} = 3$ C、 $3 x - 1 = \frac{6210}{x}$ D、 $\frac{6210}{x} = 3$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴.若反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）

A、8 B、5 C、6 D、4

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9. 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在 $x$ 轴上，顶点 $A (- 4 ， 6) ， C (4 ， 0)$ ，连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则点H的横坐标为（）

A、6 B、4 C、3 D、1

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10. 如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2 $\sqrt{3}$ ），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）

A、（－1， $\sqrt{3}$ ） B、（－1，－3） C、（－2，0 ） D、（1，－3）

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二、填空题

11. 计算： $2021^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1}$ ＝.

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 x - 4 \\ \frac{1}{3} x \geq x - \frac{2}{3} \end{array}$ 的最大整数解为.

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13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是.

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14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为.

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15. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(2 - \frac{x - 1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3 \tan 30 ° - 3$ ．

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17. 某校八、九年级各有学生200人，为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.（说明：成绩80分及以上为优秀，70－79分为良好，60－69分为合格，60分以下为不合格）
a.八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）

b.八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是

70 71 73 73 73 74 76 77 78 79

c.九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：

平均数

中位数

众数

优秀率

79

76

84

40%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是年级的学生（填“八”或“九”）；

(2)、假设八、九年级全体学生都参加了此次测试.
①预估九年级学生达到优秀的约有人；

②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到分才可以入选.

(3)、根据上述信息，推断 ▲ 年级学生运动状况更好，并说明理由.

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18. 如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点 B是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，且 $\overset{⌢}{D F}$ ＝ $\overset{⌢}{B C}$ ，连接AB，BC，CD.

(1)、求证：△CDE≌△ABC；

(2)、若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；

②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形.

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19. 河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇佑元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称.如图，小明的眼睛到地面的距离AB为1.7米，他站在点A处测得塔顶D的仰角为45°，小颖的眼睛到地面的距离EF为1.5米，她站在点E处测得塔顶D的仰角为38°.已知小明与小颖相距125米，求铁塔CD的高度.（结果精确到1米.参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

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20. 如图，半圆 $O$ 的直径 $A B = 5 c m$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上且 $A M = 1 c m$ ，点 $P$ 是半圆 $O$ 上的动点，过点 $B$ 作 $B Q ⊥ P M$ 交 $P M$ （或 $P M$ 的延长线）于点 $Q$ .设 $P M = x c m$ ， $B Q = y c m$ .（当点 $P$ 与点 $A$ 或点 $B$ 重合时， $y$ 的值为0）

小石根据学习函数的经验，对函数 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小石的探究过程，请补充完整：

(1)、通过取点、画图、测量，得到了 $x$ 与 $y$ 的几组值，如下表：

$x / c m$

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

$y / c m$

0

3.7

a

3.8

3.3

2.5

b

上表中 a= ， b=.

(2)、建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：
当 $B Q$ 与直径 $A B$ 所夹的锐角为 $60 °$ 时， $P M$ 的长度约为 $c m$ .（结果保留一位小数）

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21. 某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元.

(1)、求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；

(2)、若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元.
①求w关于x的函数关系式；

②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.

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22. 在平面直角坐标系中，函数y＝x²－2ax－1（a为常数）的图象与y轴交于点A.

(1)、求点A的坐标.

(2)、当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围.

(3)、当x≤0时，若函数y＝x²－2ax－1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值.

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23. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ ED，连接BE，EC.

(1)、问题发现：
如图①，若α＝60°，则∠EBA＝， AD与EB的数量关系是；

(2)、类比探究：
如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；

(3)、拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在其上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝ $\sqrt{2}$ ，请直接写出线段 EF的长度.

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平均数	中位数	众数	优秀率
79	76	84	40%

$x / c m$	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
$y / c m$	0	3.7	a	3.8	3.3	2.5	b