浙江省绍兴市上虞区2021年初中毕业生学业评价文化考试适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数 $- 3$ ， $\frac{1}{3}$ ，0， $\sqrt{2}$ 中，最大的数是（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、0 D、 $\sqrt{2}$

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2. 据国家统计局数据公报，去年虽受“新冠疫情”影响，但全年国内生产总值仍高达1015986亿元，比上年增长2.3%.这个数据“1015986亿”用科学记数法可表示为（）

A、 $0.1015986 \times 10^{15}$ B、 $1.015986 \times 10^{14}$ C、 $10.15986 \times 10^{13}$ D、 $1015986 \times 10^{8}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 8 a^{5} b^{3}$ C、 $2 a b^{2} \times (- \frac{1}{2} a b^{2} + 3 a) = - a^{2} b^{4} + 6 a^{2} b^{2}$ D、 $2 a^{3} + 3 a^{2} = 5 a^{5}$

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4. 如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（）

A、角 B、边长 C、周长 D、面积

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5. 若实数x同时满足不等式 $2 x - 1 \leq 3$ 和 $x + 1 > 2$ ，则满足条件的实数x在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去.问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能？

A、12 B、6 C、5 D、2

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7. 如图，△ABO的顶点A在函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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8. 将图1所示七巧板的其中几块，拼成如图2所示的一个四边形，则该四边形的最短边与最长边之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9. 如图，将边长为4、锐角为 $60 °$ 的菱形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使顶点B恰好落在边 $A D$ 的中点处，记为 $B^{'}$ ，则点E到 $B C$ 边所在直线的距离为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的 $⊙ O$ 与x轴的负半轴交于点A，点B是 $⊙ O$ 上一动点，点P为弦 $A B$ 的中点，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与 x轴、y轴分别交于点C，E，则 $△ P C E$ 面积的最小值为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{11}{2}$

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{2} - 1$ =.

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12. 如图1，直角三角形纸片两直角边长之比为1：2，剪四块这样的直角三角形纸片，拼成如图2所示的正方形，已知图2中空白小正方形的面积为16，则图2中大正方形的边长为.

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13. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，以 $B C$ 边的中点O为圆心， $\frac{1}{2}$ $B C$ 长为半径画圆，该圆分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连结 $P D$ ， $P E$ ，则 $∠ D P E =$ .

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14. 由完全相同的正六边形拼成如图所示的蜂窝状图案A，B，C是正六边形的顶点，则 $\tan ∠ B A C =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $B C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，以 $A B$ 为边在 $△ A B C$ 外作等腰直角 $△ A B D$ ，连结 $C D$ ，则 $C D$ ＝.

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16. 在平面直角坐标系中，若菱形的两条对角线分别与x轴、y轴平行，则称该菱形为坐标平面内的“规则菱形”.已知点A，B，C的坐标分别为 $(2 ， 5)$ ， $(5 ， 5)$ ， $(c ， 0)$ ，现以点C为圆心， $2 \sqrt{2}$ 长为半径作 $⊙ C$ ，若在 $⊙ C$ 上存在点M，线段 $A B$ 上存在点N，使以点M，N为相邻顶点的“规则菱形”为正方形，则c的取值范围是.

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三、解答题

17.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - 4 \sin 45 ° - {(1 - \sqrt{2})}^{0} + \sqrt{8}$

(2)、化简： $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，延长 $B C$ 至E，使 $C E = C A$ ，连结 $A E$ 交 $D C$ 于点F.

(1)、求 $∠ C A E$ 的度数.

(2)、求 $D F ： F C$ 的值.

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19. 我区某校采用随机抽样的方式对学生掌握安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良中差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请根据有关信息解答：

(1)、接受测评的学生共有__▲__人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为_▲_ $°$ ，并补全条形统计图；

(2)、若该校共有学生2800人，请估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数；

(3)、测评成绩前五名的学生恰好是3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率.

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20. 某校数学兴趣小组实地测量两岸互相平行的一段河道的宽度在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东 $45 °$ 方向，然后向东走150米到达C点，测得点B在点C的北偏西 $60 °$ 方向，如图.

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数；

(2)、求这段河道的宽度.

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21. 滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离s（单位： $m$ ）是滑行时间t（单位：s）的二次函数.滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表.

滑行时间 $t / s$

0

1

2

3

4

滑行距离 $s / m$

0

4.5

14

38.5

48

(1)、在上表t，s的数据中，发现有一对数据记录错误.在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？

(2)、根据（1）中结果，求出s关于t的函数表达式；并求出当滑行时间为 $6 s$ 时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？

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22. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B ⊥ C D$ 于点E，连结 $CO$ 并延长交 $A D$ 于点F，且 $C F ⊥ A D$ ，求 $∠ D C F$ 的度数.

(1)、请解答本题.

(2)、解完本题后，小芳对本题作进一步思考.她认为：如果去掉“ $C F ⊥ A D$ ”这一条件，而增加条件“ $∠ C D A = 60 °$ ”，则有 $C F ⊥ A D$ .你认为小芳的观点正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由.

(3)、解完本题后，同学小颖也对本题进行了反思她认为：在图中所有的线段中，若已知某一条线段的长度，则能求出扇形 $A O C$ 的面积请你在“ $C D$ ， $E B$ ， $D F$ ”这三条线段中，选择其中一条并赋于长度，然后计算扇形 $A O C$ 的面积.

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的各顶点坐标分别 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (0 ， 2 \sqrt{3})$ ，直线l过点B，且与x轴的正半轴成 $60 °$ 角，将 $△ A B C$ 绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为 $α$ .解答下列问题：

(1)、填空： $△ A B C$ 为三角形（选择“等腰”或“等边”一种），直线l的函数表达式为；

(2)、若 $0 < α < 180 °$ ，在 $△ A B C$ 的旋转过程中，当 $△ A B C$ 的一边与直线l互相垂直时，记A点的对应点为 $A^{'}$ ，求点 $A^{'}$ 的坐标；

(3)、当 $α = 210 °$ 时，记旋转后顶点A，C的对应点分别为M，N，长度为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的线段 $P Q$ 在直线l上移动，连结 $M Q$ ， $N P$ ，试求四边形 $M Q P N$ 周长的最小值.

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24. 已知菱形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 边上一动点，连结 $A E$ 交 $B D$ 于点F.

(1)、如图1，当E为 $B C$ 边中点时，求证： $B F = \frac{1}{2} D F$ ；

(2)、如图2，连结 $C F$ ，若 $A B = 10$ ， $B D = 16$ ，当 $△ C E F$ 为直角三角形时，求 $E C$ 的长；

(3)、如图3，当 $∠ A B C = 90 °$ 时，过点C作 $C G ⊥ A E$ 交 $A E$ 的延长线于点G，连结 $D G$ ，若 $D F = D C$ ，求 $\tan ∠ C D G$ 的值（直接写出答案即可）.

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滑行时间 $t / s$	0	1	2	3	4
滑行距离 $s / m$	0	4.5	14	38.5	48