浙江省宁波市鄞州区2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2021的倒数为（）

A、 1202 B、－2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{5} - a^{3} = a^{2}$ D、 $a^{5} \div a^{3} = a^{2}$

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3. 据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（）

A、 $1.1985 \times 10^{4}$ 元 B、 $0.11985 \times 10^{5}$ 元 C、 $1985 \times 10^{11}$ 元 D、 $1.1985 \times 10^{12}$ 元

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4. 如图几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（）.

A、第一周体温的中位数为37.1℃ B、这两周体温的众数为36.6℃ C、第一周平均体温高于第二周平均体温 D、第二周的体温比第一周的体温更加平稳

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6. 要使分式 $\frac{x}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \neq 0$ D、 $x > 0$

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7. 已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（）

A、40°和50° B、30°和150° C、90°和90° D、120°和150°

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8. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝嫩、无重叠的四边形 $E F G H$ ，若 $H J ： J K ： K F = 2 ： 1 ： 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A B ： A D = 2 ： 3$ B、 $E H ： H G = 2 ： 3$ C、 $B C ： F H = 2 ： 3$ D、 $A H ： H D = 2 ： 3$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线 $C_{n} ： y = {(x - n)}^{2} + n^{2}$ （n为正整数），若 $C_{1}$ 和 $C_{n}$ 的顶点的连线平行于直线 $y = 10 x$ ，则该条抛物线对应的n的值是（）

A、8 B、9 C、11 D、10

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 为斜边作三个等腰直角 $△ A B D$ ， $△ A C E$ ， $△ B C F$ ，图中阴影部分的面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，若已知 $R t △ A B C$ 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）

A、 $S_{4}$ B、 $S_{1} + S_{4} - S_{3}$ C、 $S_{2} + S_{3} + S_{4}$ D、 $S_{1} + S_{2} - S_{3}$

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二、填空题

11. 计算： $- \sqrt{9}$ 的值是.

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12. 分解因式： $3 m^{2} - 12 =$ ．

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13. 在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同.现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为.

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14. 如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是.

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15. 如图，以 $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的点O为心， $O A$ 为半径作圆，与 $B C$ 相切于点B，与 $A D$ 相交于点E.若 $A E = 2 D E$ ， $B C = 6$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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16. 如图，直线 $y = k x$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象交于A，B两点，与函数 $y = \frac{b}{x} (0 < b < a)$ 在第一象限的图象交于点C， $A C = 3 B C$ ，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数 $y = \frac{b}{x}$ 在第一象限的图象于点E，D，连结 $A E$ 交x轴于点G，连结 $A D$ 交y轴于点F，连结 $F G$ ，若 $△ A F G$ 的面积为1，则 $\frac{b}{a}$ 的值为， $a + b$ 的值为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： ${(x + 2)}^{2} - x (x + 2)$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 2 \geq 3 \\ \frac{2 x}{3} - 5 < - x \end{array}$

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18. 图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影，请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形.

(1)、在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；

(2)、在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形.

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19. 如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆 $A B$ 和可转动灯杆 $B C$ 和光源 $C D$ 组成，当灯杆 $B C$ 绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变.图2是其示意图，其中 $A B ⊥ A E$ ， $C D // A E$ ，灯杆 $A B = 16 cm$ ， $B C = 36 cm$ .

(1)、当灯杆 $A B$ 与 $B C$ 的夹角 $∠ A B C$ 为150°时，求光源 $C D$ 到桌面 $A E$ 的距离；

(2)、若光源 $C D$ 到 $A E$ 的距离h与圆形照明区域半径r的关系是 $h = \frac{2}{3} r$ ，要使圆形区域半径达到 $51 cm$ ，求灯杆 $A B$ 与 $B C$ 的夹角 $∠ A B C$ 的度数.

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20. 某学校开展应急救护知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）.现将测试成绩分为五个等第：不合格 $(50 \leq x < 60)$ ，基本合格 $(60 \leq x < 70)$ ，合格 $(70 \leq x < 80)$ ，良好 $(80 \leq x < 90)$ ，优秀 $(90 \leq x < 100)$ ，制作了如下的统计图（部分信息未给出）.

由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、求参加测试的总人数并补全频数分布直方图：

(2)、求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数：

(3)、如果80分以上（包括80分）为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数.

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21. 如图，平面直角坐标系中，线段 $A B$ 的端点坐标为 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (2 ， 5)$ .

(1)、求线段 $A B$ 与y轴的交点坐标；

(2)、若抛物线 $y = x^{2} + m x + n$ 经过A，B两点，求抛物线的解析式；

(3)、若抛物线 $y = x^{2} + m x + 3$ 与线段 $A B$ 有两个公共点，求m的取值范围.

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22. 有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港.设甲船行驶

x (h)

后，甲船与B港的距离为

y_{1} (km)

，乙船与B港的距离为

y_{2} (km)

，下表记录某些时刻

y_{1} (km)

与

x (h)

的对应值，

y_{2} (km)

与

x (h)

的关系如图所示.

$x (h)$	0	0.5	1	2	3	4	4.5	…
$y_{1} (km)$	60	45	30	0	0	30	45	…

(1)、甲船的行驶速度是，乙船的行驶速度是

(2)、在图中画出

y_{1} (km)

与

x (h)

的图象；

(3)、当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间.

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23. 定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”.

(1)、如图1，近似菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = A D = 4$ ， $B C = 2$ ， $A B$ 与 $A D$ 的夹角 $∠ B A D$ 所对的对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $A D // B C$ ， $∠ C A D = 2 ∠ D B C$ .求证：四边形 $A B C D$ 是“近似菱形”

(3)、在（2）的条件下，若 $∠ C D B = 3 ∠ A D B$ ， $A B = 1$ ，求 $C D$ 的长.

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24. （提出问题）
如图1，直径 $A B$ 垂直弦 $C D$ 于点E， $A B = 10$ ， $C D = 8$ ，点P是 $C D$ 延长线上异于点D的一个动点，连结 $A P$ 交 $⊙ O$ 于点Q，连结 $C Q$ 交 $A B$ 于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变.

(1)、（特殊位置探究）
当 $D P = 2$ 时，求 $\tan ∠ P$ 和线段 $A Q$ 的长；

(2)、（一般规律探究）
如图2，连结 $A C$ ， $D Q$ .在点P运动过程中，设 $D P = x$ ， $\frac{A F}{B F} = y$ .

①求证： $∠ A C Q = ∠ C P A$ ；

②求y与x之间的函数关系式：

(3)、（解决问题）
当 $O F = 1$ 时，求 $△ A C Q$ 和 $△ C D Q$ 的面积之比.（直接写出答案）

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