四川省成都市锦江区2021年数学中考二诊试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2021$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2021}$ B、 $- \frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $- 2021$

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2. 如图所示的几何体由6个大小相同的正方体组成，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. “2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作.截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募.数据5000用科学记数法可以表示为（）

A、 $5 \times 10^{3}$ B、 $5 \times 10^{4}$ C、 $0.5 \times 10^{3}$ D、 $0.5 \times 10^{4}$

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4. 已知点P与点 $P^{'} (2 ， - 1)$ 关于y轴对称，则点P的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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5. 如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中 $∠ B A C = ∠ E A D = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $∠ E = 45 °$ ， $A E$ 与 $B C$ 相交于点F，若 $A B // D E$ ，则 $∠ E F B$ 的大小是（）

A、75° B、90° C、105° D、120°

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6. 在某校组织的体育中考模拟测试中，某小组5位同学的立定跳远成绩分别为（单位：分）：19，19，18，20，19.这组数据的中位数和众数分别是（）

A、18分，18分 B、18分，19分 C、19分，18分 D、19分，19分

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上有三点A，B，C，过点A作 $A D ⊥ x$ 轴于点D，过点B作 $B E ⊥ x$ 轴于点E，过点C作 $C F ⊥ y$ 轴于点F，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，记 $△ O A D$ ， $△ O B E$ ， $△ O C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 和 $S_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $S_{1} > S_{2} > S_{3}$ B、 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ C、 $S_{1} = S_{2} = S_{3}$ D、 $S_{1} > S_{3} > S_{2}$

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8. 如图，菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长等于（）

A、14 B、20 C、24 D、28

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9. 若关于x的分式方程 $\frac{a}{x - 3} - \frac{1}{3 - x} = 2$ 有增根，则a的值为（）

A、 $a = 1$ B、 $a = - 1$ C、 $a = 3$ D、 $a = - 3$

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10. 在同一直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = b x^{2} + a$ 的大致图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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12. 若一次函数 $y = (k - 2) x + 3$ 的值随x的增大而增大，则常数k的取值范围为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转90°得到 $△ D B E$ ，连接 $A D$ ，则 $∠ A D E$ 的大小为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以点A和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点E，交 $B C$ 于点F.若 $\frac{B F}{F C} = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan ∠ A C B$ 的值为.

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15. 已知整数x满足 $- \sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ ，则x的值为.

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，连接 $B C$ ， $B D$ ，若直径 $A B = 8$ ， $∠ C B D = 45 °$ ，则阴影部分的面积为.

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17. 用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多.如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，、 $A D = 12 \sqrt{3}$ .将矩形 $A B C D$ 放置在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点O，E分别是边 $A D$ 和 $B C$ 的中点，点P为线段 $O E$ 上一点，且 $O P = 4$ ，点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $O \to A \to B \to E$ 方向运动（运动到点E时停止），连接 $P Q$ ，将 $△ O P Q$ 沿 $P Q$ 翻折，点O的对应点 $O^{'}$ 恰好落在边 $B C$ 上，则点Q的运动时间t（秒）的值为.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 4$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，点P是直线 $C D$ 上一点，连接 $P A$ ，将线段 $P A$ 绕P逆时针旋转120°得到 $P A^{'}$ ，点M、N分别是线段 $A C$ 、 $P A^{'}$ 中点，连接 $M N$ ，则线段 $M N$ 的最小值为.

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三、解答题

20.

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2 \cos 60 ° + \sqrt{12} - {(3 - π)}^{0}$ .

(2)、解方程： $x (x - 1) + x - 1 = 0$ .

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21. 先化简，再求值： $(\frac{4}{m + 3} - 1) \div \frac{m - 1}{m^{2} - 9}$ ，其中 $m = \sqrt{5} + 3$ .

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22. 近期，锦江区各学校开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率.为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，某学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)、请补全条形统计图；扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为；

(2)、若该学校共有学生800人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数；

(3)、若从对“近视防控”知识掌握程度为“优秀”的3个女生和1个男生中随机抽取2人，为“待合格”的同学进行“近视防控”知识宣讲，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.

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23. 蜀峰468是某地产与锦江区联手打造的“成都第一高楼”，扼守成都“东进”桥头堡，作为大运会灯光秀的主力建筑，承载着展示成都国际化城市形象的重要使命.据了解，2021年7月15日，蜀峰468将完成结构封顶并呈现幕墙灯光秀，以一流的速度和一流的品质向成都人民交上答卷.寒假中，小明和小刚准备测量蜀峰468已建楼高.如图所示，小明家和小刚家在同一大楼（ $C D$ ），大楼（ $C D$ ）和蜀峰468（ $A B$ ）在同一水平街道上.已知 $C E = D E = 60$ 米，若小明从D点测得A的仰角为45°，小刚从E点测得A的仰角为58°，请计算蜀峰468（ $A B$ ）已建高度.（参考数据： $\sin 58 ° \approx 0.85$ ， $\cos 58 ° \approx 0.53$ ， $\tan 58 ° \approx 1.60$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，结果保留整数）

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = a x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）交于 $A (1 ， 3)$ ， $B (3 ， m)$ 两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接 $O A$ ， $O B$ .

(1)、求a，b，k的值；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积；

(3)、在x轴上是否存在点P，使 $△ P C D$ 的面积等于 $△ O A B$ 的面积的3倍.若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图1，以 $△ A B C$ 的边 $A C$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D，连接 $A D$ ，点E为 $A D$ 上一点（不与端点重合），连接 $C E$ ，作 $D F ⊥ C E$ 于点F，延长 $D F$ 交 $A C$ 于点M，交 $B A$ 的延长线于点G， $∠ B G D = ∠ A C E$ .

(1)、求证： $B G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $\frac{B G}{A B} = \frac{A D}{A E}$ ；

(3)、如图2，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点H，若 $H E = 4$ ， $∠ A C H = ∠ B C H$ ， $\sin ∠ B G D = \frac{2}{5}$ ，求 $B C$ 的长.

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26. 2021年7月1日是中国共产党成立100年纪念日，某中学计划排练歌舞节目献礼建党100周年，需要男生和女生共120名同学参加演出，其中，女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的2倍.学校将为每位参加演出的学生购买一套演出服，从服装市场了解到：购买1套男生服装需要100元，购买1套女生服装需要60元

(1)、设男生人数为a，求a的取值范围；

(2)、若学校和商家协定：购买女生服装没有优惠，购买男生服装超过20套时，每多1套则每套男生服装的购买价格减少0.5元.求参加演出的男生和女生分别为多少人时，购买服装所需费用最少？最少为多少元？

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27. 如图， $A C$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线，E为边 $B C$ 上一点，过点E作 $E G ⊥ A C$ 交 $A C$ 于P，交 $C D$ 于G，连接 $D P$ 并延长交 $B C$ 于点F.

(1)、求证： $P E = P G$ ；

(2)、若 $B E = F C$ ，求 $∠ E P F$ 的大小；

(3)、若 $B C = 6$ ， $E F = 1$ ，求 $△ P E F$ 的面积.

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28. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且 $O C = O B = 3$ ，对称轴l交抛物线于点D，交x轴于点G.

(1)、求抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)、如图2，过点C作 $C H ⊥ D G$ 于H，在射线 $H G$ 上有一动点M（不与H重合），连接 $M C$ ，将 $M C$ 绕M点顺时旋转90°得线段 $M N$ ，连接 $D N$ ，在点M的运动过程中， $\frac{D N}{H M}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

(3)、如图3，将抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作 $Q P ⊥ x$ 轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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