山西省太原市2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $2^{- 1}$ 的结果是（　　）．

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 ${(2 m)}^{3} = 6 m^{3}$ C、 $(- 3 x^{2}) \cdot 2 x^{3} = - 6 x^{5}$ D、 ${(n^{2} m)}^{2} = n^{2} m^{2}$

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3. 如图所示的立体图形的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 太原古县城的打造历时8年，耗资将近300亿元，是太原境内的一个重点工程．它是一个在明代早期修建的古城，很好的传承了“晋阳古城”的文脉，并延续了“晋阳古城”的历史文化．数据300亿元用科学记数法表示为（）

A、 $3 \times 10^{2}$ 元 B、 $3 \times 10^{8}$ 元 C、 $3 \times 10^{10}$ 元 D、 $0.3 \times 10^{10}$ 元

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5. 如图，l₁∥l₂ ， ∠1=120°，∠2=100°，则∠3等于（）

A、60° B、50° C、40° D、20°

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6. 实数 $\sqrt{19} - 1$ 介于（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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7. 学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是0或8时，输出的y值相等，则b等于（）

A、 $- 16$ B、 $- 10$ C、 $- 8$ D、 $- 2$

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9. 《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南悔．今凫雁俱起，问何日相逢？”愈思是：今有野鸭从南海起飞.7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭大雁同时起飞，问经过多少天相逢．利用方程思想解决这一问题时，设经过 $x$ 天相遇，根据题意列出的方程是（）

A、 $(9 - 7) x = 1$ B、 $(9 + 7) x = 1$ C、 $(\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) x = 1$ D、 $(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) x = 1$

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10. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 9$ ， $A B = 7$ ，点F是 $B C$ 上一点，点E在 $A D$ 上，将矩形纸片沿直线 $E F$ 折叠，点A落在点 $A^{'}$ 处．点B恰好落在边 $C D$ 上的点 $B^{'}$ 处， $A^{'} B$ 交 $A D$ 于点G，若 $C B^{'} = 3$ ，则四边形 $E F B^{'} G$ 的面积等于（）

A、 $\frac{35}{3}$ B、 $\frac{55}{3}$ C、 $\frac{35}{2}$ D、 $\frac{145}{6}$

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二、填空题

11. 计算 ${(x - 2)}^{2} - (x + 2) (x - 2)$ 的结果是．

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12. 在同样条件下，对某种小麦种子进行发芽试验，统计如下表：

试验种子粒数	50	100	200	500	1000	2000	3000
发芽种子粒数	45	92	188	476	951	1900	2850

据此估计该小麦种子发芽的概率为（精确到0.01）．

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13. 已知点 $(2 ， 0)$ 在直线 $l_{1}$ 上，点 $(- 4 ， - 3)$ 在直线 $l_{2}$ 上， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 关于y轴对称．则 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的交点坐标为．

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14. 根据下图中菱形四个顶点所标的数字规律，推测第2021个菱形上方顶点所标的数字是．

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15. 如图，点A的坐标为 $(2 ， 0)$ ，点B的坐标为 $(0 ， 2 \sqrt{3})$ ，⊙A与y轴相切，点C是⊙A上的动点，射线 $B C$ 与x轴交于点D，则 $B D$ 长的最大值等于．

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三、解答题

16.

(1)、计算 $| 1 - \sqrt{3} | + 2 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(π - 1)}^{0}$ ．

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 4}{2} \geq x - 3 \\ 2 x + 5 > 2 - x \end{array}$ 解集在数轴上表示．

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17. 如图，过点 $C (8 ， 6)$ 分别作 $C B ⊥ x$ 轴． $C A ⊥ y$ 轴，垂足分别为点B和点A，点F是线段 $B C$ 上一个动点，但不与点B、点C重合，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象过点F，与线段 $A C$ 交于点E，连接 $E F$ ．

(1)、当点E是线段 $A C$ 的中点时，直接写出点F的坐标；

(2)、若 $△ C E F$ 的面积为6，求反比例函数的表达式．

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18. 某校为了解该校学生平均每天运动的时间，随机抽取部分学生进行调查，并将相关数据分为A，B，C，D四个组进行统计，绘制了如图不完整的频数分布表，扇形统计图及B组时间与人数分布表．

平均每天运动时间频数分布统计表

组别	时间t/小时	频数/人数
A	$0 \leq t < 0.5$	10
B	$0.5 \leq t < 1$	20
C	$1 \leq t < 1.5$	$n + 10$
D	$t \geq 1.5$	n

平均每天运动时间扇形统计图

B组时间与人数分布表

时间（小时）	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
人数（人）	1	2	4	6	7

根据以上信息解答问题．

(1)、所抽取的学生中，平均每天运动时间落在C组的人数为人；

(2)、所抽取的学生中，平均每天运动时间的中位数为小时；

(3)、已知该校有2000人，估计该校学生平均每天运动时间不少于0.8小时的人数．

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19. 每年春季彩灯工艺师为汾河景区“中华第一龙”换装．查阅资料可知，“巨龙”长126米，龙身最大跨度为20米，最大直径为2.7米．课外实践小组对这条“巨龙”的龙头头顶A离地面的高度（ $A B$ ）产生了兴趣．决定运用所学知识求出它的高度．由于“巨龙”在河中，同学们只能在人行道上进行测量．下面是他们测量的过程：在C点处测得龙头头顶A的仰角为 $27 °$ ，沿着人行道直行63米到达点D处．测得 $∠ B C D = 60 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ．已知B，D，C三点在同一水平面内，测角仪距该平面的高度忽略不计．请根据以上数据求龙头头顶A离地面的高度 $A B$ ．（结果精确到0.1米，下参考数据： $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 某糕点加工店受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量和总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．

	第一次	第二次	第三次
面包切（袋）	2	3	5
蛋糕粉（袋）	4	5	8
总金额（元）	520	700	912

(1)、求第三次购买时，该店比按原价购买节省的总金额；

(2)、该店第四次购买原料时发现价格较第二次又有调整，每袋面包粉售价降了a元，每袋蛋糕粉售价降了2a元，这时用576元能够购买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的

\frac{3}{4}

．求这两种原料现在的售价．

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21. 请阅读下面的材料，并完成相应的任务．

仅用圆规三等分．六等分圆是容易的，而四等分、五等分…则有一定难度，历史上卡尔·弗雷德里希·高斯首次解决了将圆十七等分的难题．拿破仑·波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题：只用圆规，不用直尺，如何把一个圆周四等分？这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还写了名为《圆规几何》的书献给拿破仑，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部分证明如下：

如图1，

第一步：在⊙O上任取一点A，以点A为一个分点，将⊙O六等分，其他分点依次为B、C、D、E、F；

第二步：分别以A、D两点为圆心，以 $A C$ （ $B D$ ）为半径作弧，两弧交于点G；

第三步：以点A为圆心， $O G$ 为半径作弧．与⊙O交于M，N两点．

则点A、M、D、N是⊙O的四等分点．

证明：如图2，

连接 $O A$ 、 $O G$ 、 $O C$ 、 $O D$ 、 $A G$ 、 $A M$ 、 $A C$ 、 $D M$ 、 $D C$ ．

∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．

$∠ C O D = 60 °$ ．

$∠ A O D = 3 ∠ C O D = 3 \times 60 ° = 180 °$ ．

任务：

(1)、完成证明；

(2)、若⊙O的半径为2，则

O G

的长为，

\overset{⌢}{M N}

的长为．

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22. 综合与实践
问题背景：数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D为 $B C$ 边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E．连接 $A D$ ，M为 $A D$ 的中点，连接 $E M$ ， $C M$ ．

(1)、观察发现：如图1， $E M$ 与 $C M$ 之间的数量关系是；

(2)、思考分享：如图2，将 $Δ B D E$ 绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．小明是这样思考的：延长 $D E$ 至点 $D^{'}$ ，使得 $E D^{'} = D E$ ，连接 $A D^{'}$ 运用三角形中位线定理，…．按照他的思路或采用其他方法证明；

(3)、探究计算：若 $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 4$ ， $D E = 2$ ，在 $△ B D E$ 绕点B旋转一周的过程中，当直线 $D E$ 经过点A时，线段 $A D$ 的长为．

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23. 综合与探究
如图1，直线 $l$ ： $y = - 3 x + 3$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 经过A，B两点，与x轴的另一个交点为点C，连接 $B C$ ，作 $△ A B C$ 关于直线l对称的 $△ A B D$ ．

(1)、求抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；

(2)、如图2，将 $△ A B D$ 沿着x轴向左平移t个单位长度得到 $△ A^{'} B^{'} D^{'}$ ，A，B，D三点的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $D^{'}$ 三点，当点A与点C重合时停止． $A^{'} B^{'}$ 与 $B C$ 交于点M， $A^{'} D^{'}$ 与 $A B$ 交于点N，连接 $M N$ ，记 $△ A^{'} B^{'} D^{'}$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为S．请解答下列问题：
①求S与t的函数关系式；

②当 $M N / / x$ 轴时，求S的值；

(3)、当（2）中的S取得最大值时，点 $D^{'}$ 沿着一定的路径运动到 $y$ 轴上的点P处，然后再沿着与x轴平行的直线运动到抛物线对称轴上的点Q处，最后运动到点C处．请直接写出点 $D^{'}$ 运动到点C处的最短路径的长．

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