山东省德州市齐河县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2021}$ 的倒数是（）

A、2021 B、 $- \frac{1}{2021}$ C、 $- 2021$ D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（）

A、 0.215×10⁸ B、2.15×10⁷ C、2.15×10⁶ D、21.5×10⁶

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3. 如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（　　）

A、主视图 B、左视图 C、俯视图 D、主视图和俯视图

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 $a^{4} + a^{- 2} = a^{2}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 1 < 4 \\ \frac{1}{2} (x + 3) - \frac{3}{4} < 0 \end{array}$ 的最大整数解是（）

A、0 B、－1 C、1 D、－2

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6. 如图，点E ， F ， G ， H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的是（　　）

A、不是平行四边形 B、不是中心对称图形 C、一定是中心对称图形 D、当AC＝BD时，它为矩形

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7. 如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图.下列结论正确的是（）

A、众数是9 B、中位数是8.5 C、平均数是9 D、方差是7

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8. 已知抛物线y＝x²+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝ $\frac{m}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列命题中，是真命题的是（）
①面积相等的两个直角三角形全等；②对角线互相垂直的四边形是正方形；③将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移4个单位，再向上平移1个单位可得到抛物线 $y = 2 {(x - 4)}^{2} + 1$ ；

④两圆的半径R、r分别是方程x²-3x+2=0 的两根，且圆心距d=3，则两圆外切.

A、① B、② C、③ D、④

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10. 如图，AB为O直径，点C为圆上一点，将劣弧ACˆ沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，则∠DCA的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} - b x - 2 (a \neq 0)$ 的图象的顶点在第四象限，且过点 $(- 1 ， 0)$ ，给出下列叙述：
① $b^{2} > 8 a$ ；

② $a - b - 2 < 0$ ；

③存在实数k ，满足 $x < k$ 时，函数y的值都随x的值增大而增大；

④当 $a - b$ 为整数时， $a b$ 的值为1；

其中正确的是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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12. 如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③ $\frac{B C}{C G} = \sqrt{2}$ ﹣1；④ $\frac{S_{△ H O M}}{S_{△ H O G}}$ ＝2﹣ $\sqrt{2}$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

13. 计算： $\sqrt[3]{- 8} + \sqrt{16}$ ＝．

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14. 如果 $\frac{1}{x - 2}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ 互为相反数，则x= ．

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O H ⊥ A B$ 于点H，点P是 $A B$ 所对的优弧上一点，若 $∠ A P B = 60 °$ ， $O H = 1$ ，则 $A B =$ ．

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16. 如图，在 $Rt △ AOB$ 中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将 $△ AOB$ 绕点B逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后，得到 $△ A'O'B$ ，且反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象恰好经过斜边 $A'B$ 的中点C，若 $S_{ABO} = 4$ ， $tan ∠ BAO = 2$ ，则 $k =$ ．

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17. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为． (答案用根号表示)

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18. 定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为 $3 n + 5$ ；②当n为偶数时，结果为 $\frac{n}{2 k}$ （其中k是使 $\frac{n}{2 k}$ 为奇数的最小正整数），并且运算重复进行．例如：取 $n = 26$ ，则运算过程如图，那么当 $n = 9$ 时，第2022次“F运算”的结果是

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{2}{1 - x}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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20. 某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组.为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次被调查的学生有人；

(2)、请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

(3)、通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.

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21. 如图，放置在水平桌面的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠A=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少？（结果精确到1cm，参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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22. （方法回顾）
课本研究三角形中位线性质的方法

已知：如图①，已知 $Δ A B C$ 中，D，E分别是 $A B$ ， $A C$ 两边中点．

求证： $D E / / B C$ ， $D E = \frac{1}{2} B C$

证明：延长 $D E$ 至点F，使 $D E = E F$ ，连按 $F C$ ．可证： $Δ A D E ≅ Δ C F E$ （　　）

由此得到四边形 $B D F C$ 为平行四边形，进而得到求证结论

(1)、请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图①中作出证明中所描述的辅助线（请用 $2 B$ 铅笔作辅助线）；

②在证明的括号中填写理由（请在 $S A S$ ， $A S A$ ， $A A S$ ， $S S S$ 中选择） .

(2)、（问题拓展）
如图②，在等边 $Δ A B C$ 中，点D是射线 $B C$ 上一动点（点D在点C的右侧），把线段 $C D$ 绕点D逆时针旋转 $120^{\circ}$ 得到线段 $D E$ ，点F是线段 $B E$ 的中点，连接 $D F$ 、 $C F$ ．

①请你判断线段 $D F$ 与 $A D$ 的数量关系，并给出证明；

②若 $A B = 4$ ，求线段 $C F$ 长度的最小值．

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23. 如图，已知对称轴为直线 $x = - 1$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为 $(1 ， 0)$ ．

(1)、求点B的坐标及抛物线的表达式；

(2)、记抛物线的顶点为P，对称轴与线段 $B C$ 的交点为Q，将线段 $P Q$ 绕点Q，按顺时针方向旋转 $120 °$ ，请判断旋转后点P的对应点 $P^{'}$ 是否还在抛物线上，并说明理由；

(3)、在x轴上是否存在点M，使 $△ M O C$ 与 $△ B C P$ 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M的坐标（不必书写求解过程）．

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