吉林省长春市宽城区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（）

A、a B、b C、c D、d

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2. 某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为 $($ $)$

A、 $0.202 \times 10^{10}$ B、 $2.02 \times 10^{9}$ C、 $20.2 \times 10^{8}$ D、 $2.02 \times 10^{8}$

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3. 如图，下列立体图形的左视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式-x+3≤0的解集为（）

A、x≥3 B、x≤3 C、x≥-3 D、x≤-3

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5. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把 $△$ AOB绕点B逆时针旋转90°后得到 $△$ A₁O₁B ，则点A₁的坐标是（）

A、(2，4) B、(4，2) C、(-2，4) D、(-4，2)

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6. 如图，已知锐角∠AOB ，在射线OA上取一点C ，以点O为圆心、OC长为半径作 $\overset{⌢}{MN}$ ，交射线OB于点D ，连结CD；分别以点C、D为圆心、CD长为半径作弧，两弧交于点P ，连结CP、DP；作射线OP ．若∠AOP=20°，则∠ODP的度数是（）

A、110° B、120° C、130° D、140°

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7. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长p₆=6R ，计算 $π \approx \frac{p_{6}}{2 R} = 3$ ．下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是（）

A、p₁₂=24Rsin30° B、p₁₂=24Rcos30° C、p₁₂=24Rsin15° D、p₁₂=24Rcos15°

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8. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象和 $△$ ABC都在第一象限， $A B = A C = \frac{5}{2}$ ，BC∥x轴，且BC =4，点A的坐标为(3，5)．若将 $△$ ABC向下平移m(m>0)个单位，A、C两点的对应点同时落在函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象上，则k的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{45}{4}$

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二、填空题

9. 分解因式： ${2a}^{2} - 4a + 2 =$ ．

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10. 若关于x的一元二次方程x²-4x-k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为．（写出一个即可）

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11. 判断命题“代数式 $2 m^{2} - 1$ 的值一定大于代数式 $m^{2} - 1$ 的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中m的值为．

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12. 如图，在 $△$ ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE=∠C ，四边形DBCE的面积是 $△$ ADE面积的3倍．若DE=1.5，则BC的长为．

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13. 如图，AB是⊙O的直径， BC切⊙O于点B ， AC交⊙O于点D ．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则 $\overset{⌢}{BD}$ 的长为．（结果保留π）

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14. 如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 $y = - \frac{3}{5} x^{2} + b x + 1$ 的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为米．

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三、解答题

15. 当 $x = - \frac{1}{10}$ 时，求代数式 $[(3 x + 1) (3 x - 1) + {(x + 1)}^{2}] \div x$ 的值．

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16. 甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球．若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．

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17. 为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书．已知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍．求八年级人均捐书的数量．

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18. 图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． $△$ ABC的顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

(1)、在图①中画 $△$ ABC的中线BD ．

(2)、在图②中画 $△$ ABC的高线BE ，并直接写出BE的长．（保留确定点E的画图痕迹）

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19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E ， AF⊥CD于F ，且BE=DF ．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形．

(2)、连结EF ，若∠CEF＝30°，AE= $2 \sqrt{3}$ ，直接写出四边形ABCD的周长．

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20. 自从开展“创建全国文明城区”工作以来，某城区便掀起了“争做热心人”志愿服务的热潮，区教育局也号召各校学生积极参与志愿服务．为了解甲、乙两所学校的学生一周志愿服务的情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：min)数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
a ．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如下：

b ．甲校40名学生一周志愿服务时长在60≤x<80这一组数据的是：60，60，62，63，65，68，70，72，73，75，75，77，79，79．

c ．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：

学校

平均数

中位数

众数

甲校

75

m

90

乙校

75

76

85

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、表中m的值为．

(2)、根据上面的统计结果，从志愿服务时长的角度看，你认为学生志愿服务工作做得较好的是（填“甲校”或“乙校”），理由是．（写出一条即可）

(3)、甲校共有学生500人，该校要求学生一周志愿服务的时长不少于60 min，请估计该校学生中一周志愿服务时长符合要求的人数．

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21. 甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上 $8 ： 00$ 从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午 $12 ： 00$ 准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为y（千米），汽车出发时间为x（时），图中折线 $O C D E$ 表示接到通知前y与x之间的函数图象．

(1)、根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米 $/$ 时．

(2)、求线段 $D E$ 所表示的y与x之间的函数关系式．

(3)、汽车要想 $12 ： 00$ 准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．

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22.

(1)、问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD ，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形 $C^{'} D^{'} E F$ ， $C^{'} F$ 交AD于点H ，小华认为 $△$ EFH是等腰三角形，你认为小华的判断符合题意吗？请说明理由．

(2)、问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点 $C^{'}$ 落在AD上时，已知DE=a ， CD=b ， CF=c ，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．

(3)、问题应用：如图③，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4．将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折得到 $△$ ACE ， AE交BC于点F ．若点F为BC的中点，则平行四边形ABCD的面积为．

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23. 如图，在Rt $△$ ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM ，使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t>0）．

(1)、用含t的代数式表示线段BQ的长．

(2)、当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．

(3)、当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．

(4)、当点M与 $△$ ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 3 m + 1$ （m为常数）．

(1)、当抛物线的顶点在第二象限时，求m的取值范围．

(2)、当-2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且当x=1时y有最小值，求整数m的值

(3)、当m=1时，点A是直线y=2上一点，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B ，以线段AB为边作正方形ABCD ，使CD与y轴在的AB的同侧．若点C落在抛物线上，求点A的横坐标．

(4)、已知 $△$ EFG三个顶点的坐标分别为E(0，1)，F(0，-1)，G(2，1)．当抛物线与 $△$ EFG的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

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学校	平均数	中位数	众数
甲校	75	m	90
乙校	75	76	85