广东省深圳市南山区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 . D、

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2. 电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃料，每座发动机产生150亿吨推力，请用科学记数法表示150亿为（）

A、 $150 \times 10^{9}$ B、 $1.5 \times 10^{10}$ C、 $1.5 \times 10^{11}$ D、 $1.5 \times 10^{12}$

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3. 下列运算正确的是（）．

A、 $a^{2} + 2 a = 3 a^{3}$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{5}$ C、 $(a + 2) (a - 1) = a^{2} + a - 2$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 某校八年级三班进行中国诗词知识竞赛，共有10组题目，该班得分情况如下表：

人数

2

5

13

10

7

3

成绩（分）

50

65

76

80

92

100

全班40名同学的成绩的众数和中位数分别是（　　）

A、76，78 B、76，76 C、80，78 D、76，80

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5. 已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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6. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = k \\ 2 x + y = 1 \end{array}$ 的解满足x＋y＝3，则k的值为(　　)．

A、10 B、8 C、2 D、－8

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7. 下列命题正确的是（）

A、方程x²﹣x+1＝0有两个不相等实数根 B、对角线相等的四边形是矩形 C、平分弦的直径垂直于弦 D、等腰三角形底边上的中线平分顶角

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8. 菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A、16 B、12 C、12或16 D、无法确定

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9. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC ， AB于M ， N两点；②分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP ，交BC于点E ．则 $\tan ∠ B A E =$ （　　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，如图正方形 $A B C D$ 内一点E ，满足 $△ C D E$ 为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线 $G H ⊥ A F$ ，交AB于点G ，交CD于点H ．以下结论：① $∠ A F C = 105 °$ ；② $G H = 2 E F$ ；③ $\sqrt{2} C E = E F + E H$ ；④ $\frac{A E}{E H} = \frac{2}{3}$ ，其中正确的有（　　）

A、①②③ B、①③④ C、①④ D、①②③④

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二、填空题

11. 因式分解：3x²﹣12＝．

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12. 若 $\frac{\sqrt{4 - a}}{a + 2}$ 有意义，则a的取值范围为

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13. 从﹣1，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x ， y ，把点M的坐标记为（x ， y），则点M在直线l：y＝﹣x上的概率为．

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14. 矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为AB的中点，沿AE将△AEB翻折得到△AFE ， sin∠FCE＝．

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15. 如图，反比例函数的图象与矩形 $A B C O$ 的边AB交于点G ，与边BC交于点D ，过点A ， D作 $D E // A F$ ，交直线 $y = k x (k < 0)$ 于点E ， F ，若 $O E = O F$ ， $B G = \sqrt{3} G A$ ，则四边形 $A D E F$ 的面积为．

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三、解答题

16. 计算： $| 1 - 2 \cos 30 ° | + \sqrt{12} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} - {(5 - π)}^{0}$

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17. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中x是不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \leq 3 x + 1 \\ 2 x - 1 < 4 \end{array}$ 的整数解．

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18. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．

(1)、m=%，这次共抽取了名学生进行调查；并补全条形图；

(2)、请你估计该校约有名学生喜爱打篮球；

(3)、现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？

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19. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，AB为直径，作 $O D ⊥ A B$ 交 AC于点D ，延长BC ， OD交于点F ，过点C作线段CE ，交DF于点E且 $E C = E D$ ．

(1)、求证：直线CE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如果 $O A = 4$ ， $E F = 3$ ，求弦AC的长．

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20. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.

(1)、求甲、乙两种灯笼每对的进价；

(2)、经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

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21.

(1)、（探究证明）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH ， EF分别交AD、BC于点E、F ， GH分别交AB、DC于点G、H ，求证： $\frac{E F}{G H} = \frac{A B}{A D}$ ；

(2)、（结论应用）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；

(3)、（拓展运用）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG ，若AB＝2，BC＝3，EF＝ $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ ，请求BP的长．

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22. 抛物线 $y = a x^{2} - a x + b$ 交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线 $y = - x + 4$ 经过B，C两点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点， $P D // y$ 轴交BC于D点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于E点.设 $m = P D + \frac{10}{21} D E$ ，求m的最大值及此时P点坐标；

(3)、如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且 $∠ A N M + ∠ A C M = 180 °$ ，求N点坐标.

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人数	2	5	13	10	7	3
成绩（分）	50	65	76	80	92	100