广东省深圳市光明区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 5的倒数是（）

A、0.5 B、﹣5 C、﹣ $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、绿色饮品 B、绿色食品 C、有机食品 D、速冻食品

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3. 《深圳市数字经济产业创新发展实施方案（2021﹣2023年）》中指出：到2023年，数字经济将成为推动深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一，届时将培育年营业收入超过50亿元的龙头企业15家以上．将50亿用科学记数法表示为（）

A、0.50×10⁸ B、50×10⁸ C、5.0×10⁹ D、5.0×10¹⁰

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4. 如图，由一个圆柱和三个正方体组成的几何体水平放置，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算正确的是（）

A、4ab﹣b＝4a B、（ab²）³＝a³b⁵ C、（a﹣2）²＝a²﹣4 D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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6. 如图，直线l₁ $//$ l₂ ，将含30°角的直角三角板按如图方式放置，直角顶点在l₂上，若∠1＝76°，则∠2＝（）

A、36° B、45° C、44° D、64°

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7. 下面是甲、乙两同学用尺规作线段AB的垂直平分线的过程：甲同学的作图过程为（如图1）：
第一步：以A为圆心，a为半径在线段AB两侧作圆弧；

第二步：以B为圆心，b为半径在线段AB两侧作圆弧，分别交第一步所作弧于点M ， N；

第三步：作直线MN ．

乙同学的作图过程为（如图2）：

第一步：分别以A ， B为圆心，a为半径在AB上方作圆弧，两弧交于点M；

第二步：分别以A ， B为圆心，b为半径在AB下方作圆弧，两弧交于点N；

第三步：作直线MN ．

下列说法错误的是（）

A、甲同学所作直线MN为AB的垂线，但不一定是平分线 B、乙同学所作直线MN一定为AB的垂直平分线 C、甲同学所作图形中，AB所在直线为线段MN的垂直平分线 D、只有当a＝b时，两人所作图形才符合题意，否则都不对

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8. 已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x²﹣x﹣k²﹣k＝0的根的情况是（）

A、无实数根 B、有两个相等或不相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、有两个相等的实数根

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9. 某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：

①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；

②tan∠CDE＝ $\frac{4}{3}$ ；

③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；

④钟楼AB的影长BF＝（20 $\sqrt{3}$ +8）m；

⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．

（点C ， E ， B ， F在一条直线上）．

请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（）

A、15 $\sqrt{3}$ m B、（15 $\sqrt{3}$ +6）m C、（12 $\sqrt{3}$ +6）m D、15m

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10. 某数学小组在研究一道开放题：“如图，一次函数y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A ， B两点，且与反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）交于点C（﹣6，n）和点D（﹣2，3），过点C ， D分别作CE⊥y轴于点E ， DF⊥x轴于点F ，连接EF ．你能发现什么结论？”甲同学说，n＝1；乙同学说，一次函数的解析式是y＝ $\frac{1}{2}$ x+4；丙同学说，EF $//$ AB；丁同学说，四边形AFEC的面积为6．则这四位同学的结论中，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 分解因式：x³﹣6x²+9x= .

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12. 一组数据1，1，x ， 2，4，5的平均数是3，则这组数据的中位数是．

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13. 如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，旋转后的△CDA与△ABC构成四边形ABCD ，作ON $//$ AB交AD于点N ，若∠BAC＝∠BCA ，四边形ABCD的周长为24，则ON＝．

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14. 现规定一种新的运算：m#n＝4m﹣3n ．例如：3#2＝4×3﹣3×2．若x满足x# $\frac{4}{3}$ ＜0，且x#（﹣4）≥0，则x的取值范围是．

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15. 如图，扇形OPQ可以绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，若∠POQ＝120°，OP等于正六边形ABCDEF边心距的2倍，AB＝2，则阴影部分的面积为．

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三、解答题

16. 计算：﹣3×（ $\frac{1}{3}$ ）^﹣1+|5﹣ $\sqrt{12}$ |+2021⁰+4sin60°．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{3}{a + 1} - a + 1) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1}$ ，其中a是4的平方根．

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18. 某校为加强学生体能训练，安排了一分钟仰卧起坐测试，测试后体育老师随机抽取了m名学生，根据一分钟所做仰卧起坐的个数，将他们分为四组，并自定义为四个等级，将成绩统计结果绘制成了不完整的统计表、有错的条形统计图和不完整的扇形统计图．

等级	个数x	频数（人数）
不合格	10≤x＜20	n
较好	20≤x＜30	18
良好	30≤x＜40	2n
优秀	40≤x＜50	8

请根据图表中的信息解答下列问题：

(1)、m＝， n＝，扇形统计图中“优秀”所对应的圆心角度数为°；

(2)、修改条形统计图（高出部分画“〇”圈掉，不足的补全）；

(3)、在不合格和优秀这两组中随机抽取一个成绩，记录下来后放回，再随机抽取一个成绩，请直接写出两次抽到的成绩都在优秀这一组的概率．

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19. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O ， D分别在AB ， AC上，CD＝CB ， ⊙O经过点B ， D ，弦DF⊥AB于点E ，连接BF ．

(1)、求证：AC为⊙O的切线；

(2)、若∠C＝60°，BF＝3，求DF的长．

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20. 端午节前夕，某超市用16800元购进A ， B两种规格的粽子共600件，其中A种规格的进价为每件24元，B种规格的进价为每件36元．

(1)、求购买的A ， B两种规格的粽子各有多少件；

(2)、已知1件A种规格的粽子和1件B种规格的粽子的利润和为20元，且A种规格的粽子利润率不超过50%．设此次销售活动完成后的总利润为w（元），1件A种规格的粽子的利润为a（元）（其中a＞0）．
①求w与a的关系式；

②求w的最大值．

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21. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B ， C重合），连接MP ， PF⊥MP交CD于点F ．点B ， B'关于MP对称，点C ， C′关于PF对称，连接B'C ．

(1)、求证：△PFC∽△MPB ．

(2)、①当BP＝2时，B'C'＝；
②求B'C的最小值．

(3)、是否存在点P ，使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M ， F的距离；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²+bx+c与x轴交于点A和点B ，与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D ，其对称轴直线x＝1交x轴于点P ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，线段MN的两端点M ， N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标；

(3)、如图2，点Q是直线l：y＝kx+1上一点，当以Q ， A ， C ， B为顶点的四边形是平行四边形时，确定点Q的坐标和k的值．

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