北京市燕山区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．经过8年持续奋斗，现行标准下近100000000农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到历史性解决，书写了人类减贫史上的奇迹，将100000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.0 \times 10^{6}$ B、 $1.0 \times 10^{7}$ C、 $1.0 \times 10^{8}$ D、 $1.0 \times 10^{9}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ ∥ $B C$ ，若 $A D = 2$ ， $A B = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 参加第六届京津冀羽毛球冠军挑战赛的一个代表队的年龄分别是49，20，20，25，31，40，46，20，44，25，这组数据的平均数，众数，中位数分别是（）

A、33，21，27 B、32，20，28 C、33，49，27 D、32，21，22

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6. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，其三视图中面积最小的是（）

A、左视图 B、俯视图 C、主视图 D、一样大

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7. 下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（）

A、

$x$

1

2

3

4

$y$

7

8

9

10

B、

$x$

1

2

3

4

$y$

3

6

9

12

C、

$x$

1

2

3

4

$y$

1

0.5

$\frac{1}{3}$

0.25

D、

$x$

1

2

3

4

$y$

4

3

2

1

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8. 二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第i行第j列表示的数记为 $a_{i ， j}$ （其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图中， $a_{1 ， 2} = 0$ ．对第i行使用公式 $A_{i} = a_{i ， 1} \times 2^{3} + a_{i ， 2} \times 2^{2} + a_{i ， 3} \times 2^{1} + a_{i ， 4} \times 2^{0}$ 进行计算，所得结果 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中， $A_{3} = a_{3 ， 1} \times 2^{3} + a_{3 ， 2} \times 2^{2} + a_{3 ， 3} \times 2^{1} + a_{3 ， 4} \times 2^{0} = 1 \times 8 + 0 \times 4 + 0 \times 2 + 11 = 9$ ， $A_{4} =0 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 0 \times 1 =2$ ，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：① $a_{2 ， 3} = 0$ ；②图中代表的居民居住在11号楼；③ $A_{2} =3$ ，其中正确的是（）

A、③ B、①② C、①③ D、①②③

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二、填空题

9. 要使分式 $\frac{5}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围为．

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10. 中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘微的这种表示法，图①表示算式 $(+ 1) + (- 1) = 0$ ，则图②表示算式．

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11. 如图，点A，F，C，D在同一条直线上， $B C // E F$ ， $A C = F D$ ，请你添加一个条件，使得 $△ A B C ≌ △ D E F$ ．

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12. 六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为．

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13. 方程组 ${\begin{matrix} x + y = 1 \\ 3 x - y = 3 \end{matrix}$ 的解是．

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14. 若一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 3 x + k^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则k= ．

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15. 在国家统计局发布的我国2020年国民经济和社会发展统计公报中，给出了统计图1和图2．

(1)、估计2021年全年国内生产总值（GDP）是亿元；

(2)、利用你所学知识观察、分析、比较图1和图2中数据，写出2016﹣2020年国内生产总值（GDP）和三次产业的占比的变化趋势是．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $1 ： y = x - 1$ ，双曲线 $y = - \frac{1}{x}$ ，在l上取一点 $A_{1}$ ，过 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于点 $B_{1}$ ，过 $B_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交l于点 $A_{2}$ ，请继续操作并探究：过 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于点 $B_{2}$ ，过 $B_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线交l于点 $A_{3}$ ，…，这样依次得到l上的点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…， $A_{n}$ ，…，记点 $A_{n}$ 的横坐标为 $a_{n}$ ，若 $a_{1} = - 2$ ，则 $a_{2021} =$ ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 $a_{1}$ 不能取的值是．

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三、解答题

17. 计算： $2 \sin 30 ° + | - 2 | - {(\sqrt{27})}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 5 > 3 (x - 1) \\ 3 x > \frac{x + 5}{2} \end{array}$ ．

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19. 已知 $m + 2 n = \sqrt{5}$ ，求代数式 $(\frac{4 n}{m - 2 n} + 2) \div \frac{m}{m^{2} - 4 n^{2}}$ 的值．

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20. 已知：如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 60 °$ ．求作：射线 $C P$ ，使得 $C P // A B$ ．
下面是小明设计的尺规作图过程．

作法：如图2，

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于D，E两点；

②以点C为圆心， $A D$ 长为半径作弧，交 $A C$ 的延长线于点F；

③以点F为圆心， $D E$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ F C B$ 内部交于点P；

④作射线 $C P$ ．所以射线 $C P$ 就是所求作的射线．

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $F P$ ， $D E$ ．

$∵ C F = A D$ ， $C P = A E$ ， $F P = D E$ ．

$∴ △ A D E ≌ △$ ，

$∴ ∠ D A E = ∠$ ，

$∴ C P // A B$ （）（填推理的依据）．

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21. 已知，关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x - a - 1 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．

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22. 利用初中阶段我们学习函数知识的方法探究一下形如 $y = x^{3}$ 的函数：

(1)、由表达式 $y = x^{3}$ ，得出函数自变量x的取值范围是；

(2)、由表达式 $y = x^{3}$ 还可以分析出，当 $x ⩾ 0$ 时， $y ⩾ 0$ ，y随x增大而增大；当 $x < 0$ 时，y0，y随x增大而．

(3)、如图中画出了函数 $y = x^{3} (x ⩾ 0)$ 的图象，请你画出 $x < 0$ 时的图象；

(4)、根据图象，再写出 $y = x^{3}$ 的一条性质．

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23. 2020年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线，集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，

A

社区有500名党员，为了解本社区2月﹣3月期间党员参加应急执勤的情况，

A

社区针对执勤的次数随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

应急执勤次数的频数分布表

次数x/次	频数	频率
$0 ⩽ x < 10$	8	0.16
$10 ⩽ x < 20$	10	0.20
$20 ⩽ x < 30$	16	b
$30 ⩽ x < 40$	12	0.24
$40 ⩽ x < 50$	a	0.08

其中，应急执勤次数在 $10 ⩽ x < 20$ 这一组的数据是：10，10，11，12，c，16，16，17，19，19，其中位数是15．

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、请补全频数分布直方图；

(3)、参加应急执勤次数最多的组是

⩽ x <

；

(4)、请估计2月3月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有人．

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 交于点O，且 $A O = B O$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、 $∠ B D C$ 的平分线 $D M$ 交 $B C$ 于点M，当 $A B = 3$ ， $\tan ∠ D B C = \frac{3}{4}$ 时，求 $C M$ 的长．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦，点D平分劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ ，连接 $B D$ ，过点D作 $A C$ 的垂线 $E F$ ，交 $A C$ 的延长线于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求证：直线 $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $A B = 5$ ， $B D = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点 $(m - 1 ， y_{1})$ ， $(m ， y_{2})$ ， $(m + 3 ， y_{3})$ 都在抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关为；

(3)、直线 $y = x + b$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ ，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当 $△ O A P$ 为钝角三角形时，求m的取值范围．

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27. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $C D = 3$ ，P是 $C D$ 边上一动点（不与D点重合），连接 $A P$ ，点D与点E关于 $A P$ 所在的直线对称，连接 $A E$ ， $P E$ ，延长 $C B$ 到点F，使得 $B F = D P$ ，连接 $E F$ ， $A F$ ．

(1)、依题意补全图1；

(2)、若 $D P = 1$ ，求线段 $E F$ 的长；

(3)、当点P在 $C D$ 边上运动时，能使为 $△ A E F$ 等腰三角形，直接写出此时 $△ D A P$ 的面积．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点M和图形 $G_{1}$ ， $G_{2}$ 给出如下定义：点P为图形 $G_{1}$ 上一点，点Q为图形 $G_{2}$ 上一点，当点M是线段 $P Q$ 的中点时，称点M是图形 $G_{1}$ ， $G_{2}$ 的“中立点”．如果点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，那么“中立点”M的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．已知，点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 4)$ ， $C (4 ， 0)$ ．

(1)、连接 $B C$ ，在点 $D (\frac{1}{2} ， 0)$ ， $E (0 ， 1)$ ， $F (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 中，可以成为点A和线段 $B C$ 的“中立点”的是；

(2)、已知点 $G (3 ， 0)$ ， $⊙ G$ 的半径为2．如果直线 $y = x - 1$ 上存在点K可以成为点A和 $⊙ G$ 的“中立点”，求点K的坐标；

(3)、以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线 $y = 2 x + 4$ 上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与 $⊙ C$ 的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．

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$x$	1	2	3	4
$y$	7	8	9	10

$x$	1	2	3	4
$y$	3	6	9	12

$x$	1	2	3	4
$y$	1	0.5	$\frac{1}{3}$	0.25

$x$	1	2	3	4
$y$	4	3	2	1