北京市顺义区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”2021年3月26日，国家航天局发布两幅由天问一号探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像．该影像是探测器飞行至距离火星11000公里处利用中分辨率相机拍摄的．将11000用科学记数法表示应为（）

A、 $11 \times 10^{3}$ B、 $1 .1 \times 10^{4}$ C、 $1.1 \times 10^{5}$ D、 $0 .11 \times 10^{6}$

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2. 下列立体图形中俯视图是三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 实数a ， b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a - b > 0$ C、 $a b > 0$ D、 $| a | > | b |$

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4. 若正多边形的一个外角的度数为40°，则这个正多边形的边数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 不透明的袋子中装有6个球除颜色外无其他差别，其中有1个红球，2个黄球，3个绿球从袋子中随机摸出一个球．那么摸出的球是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 将一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的矩形纸片 $(a > b)$ ，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（）

A、 $a^{2} + b^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2}$ D、 ${(a - b)}^{2}$

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8. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：

x

…

$- 3$

3

6

…

y

…

$- 2$

2

1

…

对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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二、填空题

9. 若代数式 $\frac{2}{a - 2}$ 有意义，则实数a的取值范围是．

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10. 已知方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ，写出一个满足条件的方程组．

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11. 如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ，只需添加一个条件即可证明 $△ A B C ≌ △ B A D$ ，这个条件可以是（写出一个即可）

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12. 如图，已知A ， B ， C是 $⊙ O$ 上三点， $∠ C = 20 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为．

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13. 要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是．

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14. 写出一个反比例函数表达式，使它的图象与直线 $y = x + 4$ 有公共点，这个函数的表达式为．

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15. 如图所示的网格是正方形网格，点A ， B ， C ， D ， E ， F是网格线的交点，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ D E F$ 的面积比为．

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16. 标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位，游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124，如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{12} - 2^{- 1} - 2 \tan 60 ° + π^{0}$ ．

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18. 解不等式： $3 x - 1 < 2 (x + 1)$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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19. 已知 $a^{2} + 2 a - 1 = 0$ ，求代数式 $(a - 1) (a + 1) + 2 (a - 1)$ 的值．

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20. 已知：如图，射线 $A P$ ．

求作： $△ A B C$ ，使得点B在射线 $A P$ 上， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ．

作法：①在射线 $A P$ 上任取一点M；

②以点M为圆心， $M A$ 的长为半径画圆，交射线 $A P$ 于另一点B；

③以点A为圆心， $A M$ 的长为半径画弧，在射线 $A P$ 的上方交 $⊙ M$ 于点C；

④连接 $A C$ 、 $B C$ ．

所以 $△ A B C$ 为所求作的三角形．

(1)、使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $A B$ 为 $⊙ M$ 的直径，点C在 $⊙ M$ 上，

∴ $∠ A C B = 90 °$ （）（填推理依据）．

连接 $M C$ ．

∵ $M A = M C = A C$ ，

∴ $△ A M C$ 为等边三角形（）（填推理依据）．

∴ $∠ A = 60 °$ ．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x - 3 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程有一个根是1，求方程的另一个根．

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22. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

(1)、求证：四边形OCED是菱形；

(2)、若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (0 ， - 1) ， B (1 ， 0)$ ．

(1)、求k ， b的值；

(2)、当 $x > 1$ 时，对于x的每一个值，函数 $y = - 2 x + n$ 的值小于一次函数 $y = k x + b$ 的值，直接写出n的取值范围．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E ， $⊙ O$ 的切线 $C F$ 交 $A B$ 的延长线于点F ，连接 $O C$ ， $D F$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\sin ∠ O F C = \frac{3}{5} ， B F = 10$ ，求 $C D$ 的长．

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25. 某校初三年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了20名学生在应用此种方法锻炼前进行了第一次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩（满分30分），并对数据（成绩）进行整理描述和分析，下面给出了部分信息：

a ．第一次体育测试成绩统计表：

分组/分	人数
$5 ⩽ x < 10$	1
$10 ⩽ x < 15$	1
$15 ⩽ x < 20$	9
$20 ⩽ x < 25$	m
$25 ⩽ x ⩽ 30$	3

b ．第二次体育测试成绩统计图：

c ．两次成绩的平均数、中位数、众数如下：

	平均数	中位数	众数
第一次成绩	19.7	n	19
第二次成绩	25	26.5	28

d ．第一次体育测试成绩在 $15 \leq x < 20$ 这一组的数据是：

15，16，17，17，18，18，19，19，19

e ．第二次体育测试成绩在 $15 \leq x < 20$ 这一组的数据是：17，19

请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、

m =

，

n =

；

(2)、求第二次体育测试成绩的及格率（大于或等于18分为及格）；

(3)、下列推断合理的是．

①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了．

②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是24分，他觉得年级里大概有240人的测试成绩比他高，所以他决心努力锻炼提高身体素质．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a (a > 0)$ 与y轴交于点A ．

(1)、求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；

(2)、直线 $y = - a x + 3 a$ 与抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a$ 围成的区域（不包括边界）记作G ．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．
①当 $a = 1$ 时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；

②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．

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27. 如图，等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D ， $∠ A = α$ ．

(1)、求出 $∠ D C B$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、延长 $C D$ 至点E ，使 $C E = A C$ ，连接 $A E$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点F ．
①依题意补全图形；

②用等式表示线段 $E F$ 与 $B C$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的 $⊙ O$ 和图形N ，给出如下定义：如果 $⊙ O$ 平移m个单位后，图形N上的所有点在 $⊙ O$ 内或 $⊙ O$ 上，则称m的最小值为 $⊙ O$ 对图形N的“覆盖近距”．

(1)、当 $⊙ O$ 的半径为1时，
①若点 $A (3 ， 0)$ ，则 $⊙ O$ 对点A的“覆盖近距”为 ▲ ；

②若 $⊙ O$ 对点B的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B的坐标 ▲ ；

③若直线 $y = 2 x + b$ 上存在点C ，使 $⊙ O$ 对点C的“覆盖近距”为1，求b的取值范围；

(2)、当 $⊙ O$ 的半径为2时， $D (3 ， t) ， E (4 ， t + 1)$ ，且 $- 1 \leq t \leq 2$ ．记 $⊙ O$ 对以 $D E$ 为对角线的正方形的“覆盖近距”为d ，直接写出d的取值范围．

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x	…	$- 3$	3	6	…
y	…	$- 2$	2	1	…