北京市房山区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在迎来了中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利现行标准下，12800个贫困村全部出列．将12800用科学记数法表示应为（）

A、 $12.8 \times 10^{3}$ B、 $1.28 \times 10^{3}$ C、 $1.28 \times 10^{4}$ D、 $0.128 \times 10^{5}$

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3. 下列冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $A B // C D ， E F$ 分别与 $A B ， C D$ 交于点B ， F ，若 $∠ E = 50 °$ ， $∠ E F C = 110 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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5. 如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 若一个多边形的每个外角都是 $72 °$ ，则该多边形的边数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 实数a ， b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a > - 1$ B、 $a b > 0$ C、 $b < - a$ D、 $| a | < | b |$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若函数图象上任意两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 均满足 $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) > 0$ ．下列四个函数图象中，

所有正确的函数图象的序号是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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10. 写出一个比1大比4小的无理数．

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11. 分解因式： $3 a^{2} - 3 b^{2} =$ .

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12. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ 的解为．

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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14. 如图所示的网格是正方形网格，A ， B ， C是网格线交点，则 $∠ A B C + ∠ B A C =$ $°$ ．

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15. 如图，点O是矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 的中点，点E是 $B C$ 的中点，连接 $O A$ ， $O E$ ．若 $O A = 2$ ， $O E = 1$ ，则矩形ABCD的面积为．

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16. 甲，乙，丙，丁，戊，已六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{8} + | - 1 | - 4 \cos 45 °$ ．

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18. 已知：如图， $A B$ 与 $C D$ 交于点E ，点E是线段 $A B$ 的中点， $∠ A = ∠ B$ ．求证： $A C = B D$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 2 > 2 x \\ \frac{x - 2}{5} < \frac{x}{3} \end{array}$

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20. 已知 $3 x^{2} - x - 1 = 0$ ，求代数式 ${(x - 2)}^{2} + 5 x (x + 1) - 3 x$ 的值．

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21. 已知： $△ A B C$ 为锐角三角形， $A B = A C$ ．
求作：菱形 $A B D C$ ．

作法：如图，

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 $A C$ 于点M ，交 $A B$ 于点N；

②分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C A B$ 的内部相交于点E ，作射线 $A E$ 与 $B C$ 交于点O；

③以点O为圆心，以 $A O$ 长为半径作弧，与射线 $A E$ 交于点D ，连接 $C D$ ， $B D$ ；四边形 $A B D C$ 就是所求作的菱形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $A B = A C ， A E$ 平分 $∠ C A B$ ，

∴ $C O =$ ．

∵ $A O = D O$ ，

∴四边形 $A B D C$ 是平行四边形．

∵ $A B = A C$ ，

∴四边形 $A B D C$ 是菱形（）（填推理的依据）．

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22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作 $A E ⊥ B C$ 交 $C B$ 的延长线于点E ，点F在BC上，且CF=BE，连接DF．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是矩形；

(2)、连接 $B D$ ，若 $∠ A B D = 90 ° ， A E = 4 ， C F = 2$ ，求 $B D$ 的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = x + 1$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (2 ， m)$ ，将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B ．

(1)、求反比例函数的表达式和点B的坐标；

(2)、若一次函数的图象过点B ，且与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象没有公共点，写出一个满足条件的一次函数的表达式．

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，过点C作 $⊙ O$ 的切线 $C E$ ，过点B作 $B D ⊥ C E$ 于点D ．

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ D B C$ ；

(2)、若 $C D = 6$ ， $\sin ∠ A B C = \frac{3}{5}$ ，求 $A B$ 的长．

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25. 为了解某校男，女生对配餐公司菜品满意度的情况，从全校学生中随机抽取男，女生各50名进行调查，获得了他们的打分成绩（百分制），并对数据（打分成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a ．男生打分成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x < 100$ ）；

b ．男生打分成绩在 $80 ⩽ x < 90$ 这一组的是：

80；81；81；82；84；86；87；88；88；88；89；89；89；89

c ．男，女生打分成绩的平均数，中位数，众数如下：

成绩

平均数

中位数

众数

男生

82

m

89

女生

84

82

86

(1)、写出表中m的值；

(2)、在此次调查中，对配餐公司满意度较高的是（填“男生”或“女生”）．理由；

(3)、如果该校700名男生都参加此次测试，请估计该校男生打分成绩超过85分的人数．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 被x轴截得的线段长度为4.

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、求c的值（用含a的式子表示）；

(3)、若点 $M (x_{1} ， 3)$ ， $N (x_{2} ， 3)$ 为抛物线上不重合两点（其中 $x_{1} < x_{2}$ ），且满足 $x_{1} (x_{2} - 5) ⩽ 0$ ，求a的取值范围．

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27. 已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 ° ， ∠ A B C = α$ ，以 $B C$ 为斜边作等腰 $R t △ B D C$ ，使得A ， D两点在直线 $B C$ 的同侧，过点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E ．

(1)、如图1，当 $α = 20 °$ 时，
①求 $∠ C D E$ 的度数；

②判断线段 $A E$ 与 $B E$ 的数量关系；

(2)、若 $45 ° < α < 90 °$ ，线段 $A E$ 与 $B E$ 的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．

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28. 对于平面内的点P和图形M ，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若 $⊙ P$ 与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度 $d_{M}$ ”．

(1)、如图1.点 $A (4 ， 3)$ ， $B (0 ， 3)$ ．
①在点O视角下，则线段 $A B$ 的“宽度 $d_{A B}$ ”为；

②若 $⊙ B$ 半径为1.5，在点A视角下， $⊙ B$ 的“宽度 $d_{⊙ B}$ ”为；

(2)、如图2， $⊙ O$ 半径为2，点P为直线 $y = - x + 1$ 上一点．求点P视角下 $⊙ O$ “宽度 $d_{⊙ O}$ ”的取值范围；

(3)、已知点 $C (m ， 0) ， C K = 1$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 3$ 与x轴，y轴分别交于点D ， E ．
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段 $D E$ 的“宽度”均满足 $0 < d_{D E} < 6$ ，直接写出m的取值范围．

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成绩	平均数	中位数	众数
男生	82	m	89
女生	84	82	86