安徽省合肥市庐阳区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2021的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2021}$ B、 $- \frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $- 2021$

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2. 下列运算一定正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ C、 ${(a^{2})}^{4} = a^{8}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 $0 .00000201 kg$ ，将0.00000201用科学记数法表示为（）

A、 $2.01 \times 10^{- 8}$ B、 $0.201 \times 10^{- 7}$ C、 $2.01 \times 10^{- 6}$ D、 $2.01 \times 10^{- 5}$

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4. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ B、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ D、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{11}{4}$

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6. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册

1

2

3

4

5

人数/人

2

5

7

4

2

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A、3，3 B、3，7 C、2，7 D、7，3

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7. 如图，A，B是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、2 C、4 D、8

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8. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、4 D、 $\frac{24}{5}$

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9. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，C，D是圆周上的两点，若 $∠ A B C = 38 °$ ，则锐角 $∠ B D C$ 的度数为（）

A、57° B、52° C、38° D、26°

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10. 如图，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ．点E、G分别在 $A D$ ， $D C$ 上，将 $△ A B E$ 、 $△ E D G$ 分别沿 $B E$ 、 $E G$ 翻折，点A的对称点为点F ，点D的对称点为点H ，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接 $D H$ ，则线段 $D H$ 长为（）

A、 $\frac{4}{5} \sqrt{10}$ B、 $\frac{4}{3} \sqrt{10}$ C、 $\frac{5}{4} \sqrt{10}$ D、 $\frac{3}{4} \sqrt{10}$

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二、填空题

11. 若二次根式 $\sqrt{x + 4}$ 有意义.则x的取值范围是.

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12. 分解因式： $x y^{2} - 4 x =$ ．

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13. 在正方形网格中，A ， B ， C ， D ， E均为格点，则∠BAC-∠DAE=°．

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14. 已知函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$ 与y轴交于点C ，顶点为D ．直线 $C D$ 交x轴于点E ，点F在直线 $C D$ 上，且橫坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 $E F$ 总有公共点．抛物线向上最多可以平移个单位长度，向下最多可以平移个单位长度．

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15. 阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + \sqrt{1}) (\sqrt{2} - \sqrt{1})} = \sqrt{2} - 1$ ；

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；

……

$\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} = \frac{1 \times (\sqrt{100} - \sqrt{99})}{(\sqrt{100} + \sqrt{99}) (\sqrt{100} - \sqrt{99})} = \sqrt{100} - \sqrt{99}$

由此，我们可以解决下面这个问题：

$S = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{100}}$ ，求出S的整数部分．

解： $S = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{2}{1 + 1} + \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{100} + \sqrt{100}}$

$< \frac{2}{1 + 1} + \frac{2}{1 + \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$

$= 1 + 2 (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \dots \sqrt{100} - \sqrt{99}) = 19$

$S = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{2}{1 + 1} + \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{100} + \sqrt{100}}$

……

∴S的整数部分是．

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三、解答题

16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (x - 1) \leq x + 2 \\ \frac{x - 2}{3} < x \end{array}$

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17. 目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数累计达到8.72万户．求这两年全市5G用户数的年平均增长率．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (- 3 ， 4)$ 和 $C (2 ， 4) ， D (6 ， 6)$ ，请按下列要求画图并填空．

⑴沿水平方向移动线段 $A B$ ，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段 $A_{1} B_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

⑵将线段 $A_{1} B_{1}$ 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 $C D$ 重合（点 $A_{1}$ 与点C重合，点 $B_{1}$ 与点D重合），请用无刻度的直尺和圆规，找出旋转中心点P ．（保留作图痕迹，不写作法）

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19. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， $\sqrt{2}$ ≈1.41）．

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20. 如图，点B为 $⊙ O$ 外一点，过点B作 $⊙ O$ 的切线，切点为A ．点P为 $O B$ 上一点，连接 $A P$ 并延长交 $⊙ O$ 于点C ，连接 $O C$ ，若 $O C ⊥ O B$ ．

(1)、求证： $B P = A B$ ；

(2)、若 $O B = 10$ ， $⊙ O$ 的半径为8.求 $A P$ 的长．

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21. 某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：

(1)、本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；

(2)、补全图2频数分布直方图；

(3)、成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．

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22. 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天)

1≤x＜50

50≤x≤90

售价(元/件)

x＋40

90

每天销量(件)

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E ， F分别是 $A D$ ， $C D$ 上的点，且 $A E = C F$ ，连接 $B E$ 、 $B F$ 、 $E F$ ，点G是 $B E$ 的中点，连接 $A G$ 并延长交 $B F$ 于点K ．

(1)、求证： $A K ⊥ B F$ ；

(2)、当点E是 $A D$ 的中点时，求 $\tan ∠ E B F$ 的值；

(3)、连接 $C K$ ，当线段 $C K$ 取最小值时，求 $\frac{A E}{A D}$ 的值．

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时间x(天)	1≤x＜50	50≤x≤90
售价(元/件)	x＋40	90
每天销量(件)	200－2x

册数/册	1	2	3	4	5
人数/人	2	5	7	4	2