湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题12 几何变换问题

试卷更新日期：2021-06-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）

A、（﹣4，﹣2﹣ $\sqrt{3}$ ） B、（﹣4，﹣2+ $\sqrt{3}$ ） C、（﹣2，﹣2+ $\sqrt{3}$ ） D、（﹣2，﹣2﹣ $\sqrt{3}$ ）

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2.
在如图所示的平面直角坐标系中，△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，作△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，再作△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，如此作下去，则△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整数）的顶点A_2n+1的坐标是（　　）

A、（4n﹣1， $\sqrt{3}$ ） B、（2n﹣1， $\sqrt{3}$ ） C、（4n+1， $\sqrt{3}$ ） D、（2n+1， $\sqrt{3}$ ）

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3.
如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A₁处，已知OA=8，OC=4，则点A₁的坐标为（　　）

A、（4.8，6.4） B、（4，6） C、（5.4，5.8） D、（5，6）

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4. 如图，已知点D，E是 $A B$ 的三等分点， $D F$ ， $E G$ 将 $△ A B C$ 分成三部分，且 $D F // E G // B C$ ，图中三部分的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则 $S_{1} ： S_{2} ： S_{3}$ 的值为（）

A、 $1 ： 2 ： 3$ B、 $1 ： 2 ： 4$ C、 $1 ： 3 ： 5$ D、 $2 ： 3 ： 4$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在 $y$ 轴的正半轴上，点C在 $x$ 轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P₁ ，则P₁的坐标为（）

A、（3，3） B、（3，2）或（ $- 3$ ， $- 2$ ） C、（3，3）或（ $- 3$ ， $- 3$ ） D、（2，3）或（ $- 2$ ， $- 3$ ）

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6. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形△OCD，则点C坐标（）

A、（﹣1，﹣1） B、（﹣ $\frac{4}{3}$ ，﹣1） C、（﹣1，﹣ $\frac{4}{3}$ ） D、（﹣2，﹣1）

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7. 如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ $\frac{1}{4}$ AB，AN＝ $\frac{1}{4}$ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{16}$

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8. 如图，已知 $Δ A O B$ 和 $Δ A_{1} O B_{1}$ 是以点O为位似中心的位似图形，且 $Δ A O B$ 和 $Δ A_{1} O B_{1}$ 的周长之比为 $1 ： 2$ ，点B的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，则点 $B_{1}$ 的坐标为（）．

A、 $(2 ， - 4)$ B、 $(1 ， - 4)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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9. 如图，以点O为位似中心，将 $△ A B C$ 放大得到 $△ D E F$ ，若 $A D = O A ， △ A B C$ 的面积为4，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、2 B、8 C、16 D、24

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10. 如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：5，则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为（　　）

A、3：5 B、3：8 C、9：25 D、 $\sqrt{3}$ ： $\sqrt{5}$

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二、填空题

11. 如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是.

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12. 在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（ $\sqrt{3}$ ，1），若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是.

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13. 如图，D是 $△ A B C$ 的边BC上一点， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ D A C = ∠ B$ .如果 $△ A B D$ 的面积为15，那么 $△ A C D$ 的面积为.

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14. 在直角△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，由∽ ，可得AC²=AD·AB.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12 ， B C = 10$ ，点 $F ， G$ 分别是 $A B ， C D$ 上的两点，连接 $F G$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $F G$ 折叠，使点 $B$ 恰好落在 $A D$ 边上的中点 $E$ 处，连接 $B E ，$ 则折痕 $F G$ 的长为．

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16. 如图， $A B / / G H / / C D$ ，点 $H$ 在 $B C$ 上， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $G$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ ，则 $G H$ 的长为．

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ ，延长 $B C$ 至点 $D$ ，使 $C D ： A C = 1 ： 2$ ，则 $\tan ∠ C A D =$ .

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18. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， CD是斜边AB上的高.下列结论①CD²=AD·BD ②AC²=AD·AB ③BC²=AB·BD④BD²=AC·BC错误的是

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19. 如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA= $\sqrt{3}$ ，则PB+PC= ．

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20. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为．

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三、作图题

21. 如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．

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22. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．

(1)、把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A₁B₁C₁ ，画出△A₁B₁C₁；

(2)、画出与△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂；

(3)、△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于某个点对称，则这个点的坐标为．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．

(1)、以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA₁B₁ ，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点A的对应点A₁的坐标；

(2)、画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O₂A₂B₂ ，并写出点A₂的坐标；

(3)、判断△OA₁B₁与△O₂A₂B₂ ，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

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四、综合题

24. 已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．

(1)、如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；

(2)、如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使 $\frac{D E}{D O}$ = $\frac{A F}{A B}$ = $\frac{1}{3}$ ，请判断△EFC的形状，并说明理由；

(3)、如图3，若E是OD上的动点（不与O，D重合），连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当 $\frac{D E}{D B}$ = $\frac{m}{n}$ 时，请猜想 $\frac{A F}{A B}$ 的值（请直接写出结论）．

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25. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．

(1)、求证：△ABF∽△BEC；

(2)、若AD=5，AB=8，sinD= $\frac{4}{5}$ ，求AF的长．

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26. 解答题

(1)、
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是， ∠CAC′=°．

(2)、
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

(3)、
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，说明理由．

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27. 我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为圆满四边形．

(1)、概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有．

(2)、
问题探究：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ADB=∠ACB，问四边形ABCD是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明△AOD∽△BOC，得到比例式 $\frac{O A}{O B}$ = $\frac{O D}{O C}$ ，再证明△AOB∽△DOC，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．

(3)、
问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB与DC的延长线相交于点E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的长．

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28. 在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，点D，E分别在CA，AB上．

(1)、如图①，若∠ACB=∠ADE=90°，则CD与BE的数量关系是；

(2)、若∠ACB=∠ADE=120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是；，

(3)、若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．

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29. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n=2，则时间t= $\frac{A D}{a}$ + $\frac{C D}{2 a}$ ，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD+ $\frac{C D}{2}$ 的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM=30°．

(1)、过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE= $\frac{C D}{2}$ ；

(2)、【问题解决】请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′，并说明理由．

(3)、【模型运用】请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．

(4)、如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m，BC=300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，
立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到
达A处的最短时间．

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30. 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．

(1)、求证：BD=EC．

(2)、探究线段BD，DC，AD之间的数量关系并说明理由．

(3)、如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=8，CD=4，求AD的长．

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