湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题13 动点变换问题

试卷更新日期：2021-06-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 和直线 $y = k x + b$ ，求点P到直线 $y = k x + b$ 的距离d可用公式 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， $⊙ C$ 的圆心C的坐标为 $(1 ， 1)$ ，半径为1，直线l的表达式为 $y = - 2 x + 6$ ，P是直线l上的动点，Q是 $⊙ C$ 上的动点，则 $P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5} - 1$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} - 1$ D、2

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2. 如图，平行于y轴的直线分别交 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 与 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $k_{1} - k_{2}$ B、 $\frac{1}{2} (k_{1} - k_{2})$ C、 $k_{2} - k_{1}$ D、 $\frac{1}{2} (k_{2} - k_{1})$

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3. 如图，点A（a ， 1），B（b ， 3）都在双曲线y＝﹣ $\frac{3}{x}$ 上，点P ， Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、6 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{10}$ +2 $\sqrt{2}$ D、8 $\sqrt{2}$

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4. 如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数 $y = \frac{- 6}{x} (x < 0)$ 上一个动点， $P B ⊥ y$ 轴于点B ，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会 $($ $)$

A、先增后减 B、先减后增 C、逐渐减小 D、逐渐增大

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5. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是AD边上一动点(不含端点A，D)，连接PC，E是AB边上一点，设BE=a，若存在唯一点P，使∠EPC=90°，则a的值是（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、3 D、6

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7. 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧 $\overset{⌢}{A B C}$ 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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8. 已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm²）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10.
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）

A、一直增大 B、一直减小 C、先减小后增大 D、先增大后减少

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二、填空题

11. 如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．

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12. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2}$ 的图象与坐标轴交于点A ， B ， D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C ，圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E在⊙M的内部；②CD的长为 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ ；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ $\sqrt{6}$ ，则PE＝ $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是

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13. 如图，函数 $y = \frac{k}{x}$ (k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A ， B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C ， D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E ， F ．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M ，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则 $k = 2 + \sqrt{3}$ ；④若 $M F = \frac{2}{5} M B$ ，则MD＝2MA ．其中正确的结论的序号是．

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14. 如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C ， CE交AB的延长线于点E ，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB ，垂足为点F ，连接AC ， OC ，则下列结论正确的是．（写出所有符合题意结论的序号）
① $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ ；

②扇形OBC的面积为 $\frac{27}{4}$ π；

③△OCF∽△OEC；

④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．

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15. 如图， $⊙ O$ 是锐角 $Δ A B C$ 的外接圆， $F H$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为F， $F H / / B C$ ，连结 $A F$ 交 $B C$ 于E， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A F$ 于D，连结 $B F$ ．下列结论：① $A F$ 平分 $∠ B A C$ ；②连接 $D C$ ，点F为 $Δ B D C$ 的外心；③ $\frac{B E}{C E} = \frac{\sin ∠ A C B}{\sin ∠ A B C}$ ；④若点M，N分别是 $A B$ 和 $A F$ 上的动点，则 $B N + M N$ 的最小值是 $A B \sin ∠ B A C$ ．其中一定正确的是(把你认为正确结论的序号都填上)．

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16. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCO的点B坐标（3，3），点A、C分别在y轴、x轴上，对角线AC上一动点E，连接BE，过E作DE⊥BE交OC于点D．若点D坐标为（2，0），则点E坐标为．

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17. 如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③ $\frac{B E}{C E} = \frac{\sin ∠ A C B}{\sin ∠ A B C}$ ；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是ABsin∠BAC．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．

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18. 如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ²的值是．

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∠B＝30°，BC＝ $\sqrt{3}$ ＋1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿EF所在直线折叠∠C，使点C的对应点C′始终落在边AB上，若△BEC′是直角三角形时，则BC′的长为．

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20. 如图， $⊙ O$ 为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．则四边形ADBC的面积的最大值为．

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三、作图题

21. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

(1)、如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

(2)、如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

(3)、四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．

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四、综合题

22. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)、用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；

(2)、当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？

(3)、当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

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23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ $\frac{1}{4}$ x²+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）.点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD.

(1)、求该二次函数的表达式及点B的坐标；

(2)、连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；

(3)、连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交y轴于点T.
①当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；

②在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），直接写出点T运动的路径长.

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24. 如图1，在等边 $Δ A B C$ 中， $A B = 6 c m$ ，动点P从点A出发以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿 $B C$ 的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为 $t (s)$ ，过点P作 $P E ⊥ A C$ 于E， $P Q$ 交 $A C$ 边于D，线段 $B C$ 的中点为M，连接 $P M$ ．

(1)、当t为何值时， $Δ C D Q$ 与 $Δ M P Q$ 相似；

(2)、在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段 $D E$ 的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求 $D E$ 的长；

(3)、如图2，将 $Δ B P M$ 沿直线 $P M$ 翻折，得 $Δ B^{'} P M$ ，连接 $A B^{'}$ ，当t为何值时， $A B^{'}$ 的值最小？并求出最小值．

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25. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a > 0)$ 与x轴交于A、B两点（A点在B点左），与y轴交于C点，连接 $B C$ ，点P为二次函数图象上的动点．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为3，求抛物线的解析式；

(2)、在（1）的条件下，若在y轴上存在点F，使得 $∠ P C F = ∠ A B C$ ，求点P的坐标；

(3)、若P为对称轴右侧抛物线上的动点，直线 $P A$ 交y轴于E点，直线 $P B$ 交y轴于点D，判断 $\frac{E C}{D E}$ 的值是否为定值，若是，求出定值，若不是请说明理由．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 与x轴、y轴的交点分别为 $C (8 ， 0) ， B (0 ， 6) ， C D = 5$ ，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{15}{4} x + c (a \neq 0)$ 过B ， C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 $D \to A \to B \to C$ 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 $O C$ 方向运动，到达C点后，立即返回，向 $CO$ 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 $O C$ 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、当点M ， N同时开始运动时，若以点M ， D ， C为顶点的三角形与以点B ， O ， N为顶点的三角形相似，求t的值；

(4)、过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段 $B A$ 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 $A^{'}$ ，求 $A^{'} Q + Q N + D N$ 的最小值．

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27. 如图，半径为4的 $⊙ O$ 中，弦AB的长度为 $4 \sqrt{3}$ ，点C是劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

(1)、求 $∠ A O B$ 的度数；

(2)、当点C沿着劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 从点A开始，逆时针运动到点B时，求 $Δ O D E$ 的外心P所经过的路径的长度；

(3)、分别记 $Δ O D E ， Δ C D E$ 的面积为 $S_{1} ， S_{2}$ ，当 $S_{1}^{2} - S_{2}^{2} = 21$ 时，求弦AC的长度．

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28. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (- 4 ， - 3)$ ，与x轴交于 $A (- 5 ， 0) ， C (- 1 ， 0)$ 两点， $D$ 为顶点，P为抛物线上一动点(与点 $B 、 C$ 不重合)

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 在直线 $B C$ 的下方运动时，求 $△ P B C$ 的面积的最大值；

(3)、该抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C = ∠ B C D$ ？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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29. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，在 $B A$ 边上以每秒 $5 c m$ 的速度向点 $A$ 匀速运动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，在 $C B$ 边上以每秒 $4 c m$ 的速度向点 $B$ 匀速运动，运动时间为 $t$ 秒（ $0 < t < 2$ ），连接 $P Q$ ．

(1)、若 $Δ B P Q$ 与 $Δ A B C$ 相似，求 $t$ 的值；

(2)、连接 $A Q$ ， $C P$ ，若 $A Q ⊥ C P$ ，求 $t$ 的值

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30. 已知直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （b，c为常数， $b > 0$ ）的一个交点为 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $M (m ， 0)$ 是x轴正半轴上的动点．

(1)、当直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （b，c为常数， $b > 0$ ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；

(2)、在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当 $S_{△ E Q M} = \frac{1}{2} S_{△ A C E}$ 时，求m的值；

(3)、点D在抛物线上，且点D的横坐标为 $b + \frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2} A M + 2 D M$ 的最小值多 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$ 时，求b的值．

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