湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题14 最值问题

试卷更新日期：2021-06-04 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知实数a，b，若a＞b， $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} = 2 \sqrt{2}$ ，则ab的最大值是（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

查看试题解析
2. 从 $- 1$ ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 $a_{k} ， b_{k}$ ）构成一个数组 $M_{K} = {a_{k} ， b_{k}}$ （其中 $k = 1 ， 2 ， \dots ， S$ ，且将 ${a_{k} ， b_{k}}$ 与 ${b_{k} ， a_{k}}$ 视为同一个数组），若满足：对于任意的 $M_{i} = {a_{i} ， b_{i}}$ 和 $M_{j} = {a_{i} ， b_{j}} (i \neq j ， 1 \leq i \leq S ， 1 \leq j \leq S)$ 都有 $a_{i} + b_{i} \neq a_{j} + b_{j}$ ，则 $S$ 的最大值（）

A、10 B、6 C、5 D、4

查看试题解析
3. 定义 $\min (a ， b)$ ，当 $a \geq b$ 时， $\min (a ， b) = b$ ，当 $a$ ＜ $b$ 时， $\min (a ， b) = a$ ；已知函数 $y = \min (- x - 3 ， 2 x - 21)$ ，则该函数的最大值是（）

A、-15 B、-9 C、-6 D、6

查看试题解析
4. 代数式2016﹣a²+2ab﹣b²的最大值是（　　）

A、2015 B、2016 C、2017 D、不存在

查看试题解析
5. 已知0≤x＜ $\frac{1}{2}$ ，那么函数y=﹣2x²+8x﹣6的最大值是（　　）

A、-6 B、=2.5 C、2 D、不能确定

查看试题解析
6. 已知半径为1的半圆，其内接等腰梯形下底为半圆的直径，那么这个梯形周长的最大值是（　　）

A、4 B、5 C、8 D、10

查看试题解析
7.
如图，点A在半径为3的⊙O内，OA= $\sqrt{3}$ ， P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

查看试题解析
8.
如图，长为10的线段AB的端点分别在x轴，y轴的正半轴上滑动（线段AB的长保持不变），⊙O与线段AB相切，则⊙O面积的最大值是（　　）

A、100π B、25π C、22π D、20π

查看试题解析
9.
如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2 $\sqrt{3}$ ，以AB为直径作⊙M，点C是优弧 $\overset{\land}{A B}$ 上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、2 $\sqrt{3}$ -2 D、4-2 $\sqrt{3}$

查看试题解析
10. 如图，⊙O是以原点为圆心， $\sqrt{2}$ 为半径的圆，点 $P$ 是直线 $y = - x + 6$ 上的一点，过点 $P$ 作⊙O的一条切线PQ ， Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）

A、3 B、4 C、 $6 - \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2} - 1$

查看试题解析
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点.在直线y＝ $\frac{3}{4}$ x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（　　）

A、2.5 B、2.4 C、2.8 D、3

查看试题解析
12.
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析

二、填空题

13. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为．

查看试题解析
14. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的最小值是．

查看试题解析
15. 如图，点P是 $∠ A O C$ 的角平分线上一点， $P D ⊥ O A$ ，垂足为点D，且 $P D = 3$ ，点M是射线 $O C$ 上一动点，则 $P M$ 的最小值为．

查看试题解析
16. $∠ A O B$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 $∠ A O B = 60 °$ ，在 $∠ A O B$ 内有一点 $P (4 ， 3)$ ，M ， N分别是 $O A ， O B$ 边上的动点，连接 $P M ， P N ， M N$ ，则 $△ P M N$ 周长的最小值是．

查看试题解析
17. 直线y=x+a-3与双曲线y= $\frac{4}{x}$ 交于A，B两点，则当线段A，B的长度取最小值时，a的值为．

查看试题解析
18. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为．

查看试题解析
19. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ P A B + ∠ P B A = 90^{°}$ ，则线段 $C P$ 长的最小值为.

查看试题解析
20.
如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．

查看试题解析
21. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)、点B(3，0)、点C(4，y₁)，若点D(x₂ ， y₂)是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax²+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x₂≤4，则0≤y₂≤5a；

③若y₂＞y₁ ，则x₂＞4；

④一元二次方程cx²+bx+a＝0的两个根为﹣1和 $\frac{1}{3}$

其中符合题意结论的是（填序号）．

查看试题解析
22.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．

查看试题解析

三、综合题

23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：

∵（ $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ）²=a﹣2 $\sqrt{a b}$ +b≥0

∴a+b≥2 $\sqrt{a b}$ ，当且仅当a=b时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

(1)、请直接写出答案：当x＞0时，x+ $\frac{1}{x}$ 的最小值为．当x＜0时，x+ $\frac{1}{x}$ 的最大值为；

(2)、若y= $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 1}$ ，（x＞﹣1），求y的最小值；

(3)、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ， △AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

查看试题解析
24. 已知 $y$ 是关于 $x$ 的函数，若其图像经过点 $P (t ， 2 t)$ ，则称点 $P$ 为函数图象上的“偏离点”．例如：直线 $y = x - 3$ 上存在“偏离点” $P (- 3 ， - 6)$ ．

(1)、在双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)、若抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + (\frac{2}{3} a + 2) x - \frac{2}{9} a^{2} - a + 1$ 上有“偏离点”，且“偏离点”为 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，求 $w = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - \frac{k a}{3}$ 的最小值（用含 $k$ 的式子表示）；

(3)、若函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + (m - t + 2) x + n + t - 2$ 的图像上存在唯一的一个“偏离点”，且当 $- 2 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $t$ ，求 $t$ 的值．

查看试题解析
25. 根据下图回答问题：

(1)、问题提出
如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2} ， A C = 6 ， ∠ B A C = 135^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

(2)、问题探究
如图②，半圆O的直径 $A B = 10$ ，C是半圆 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点D在 $\overset{⌢}{B C}$ 上，且 $\overset{⌢}{C D} = 2 \overset{⌢}{B D}$ ，点P是 $A B$ 上的动点，试求 $P C + P D$ 的最小值．

(3)、问题解决
如图③，扇形 $A O B$ 的半径为 $20 ， ∠ A O B = 45^{\circ}$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 选点P，在边 $O A$ 上选点E，在边 $O B$ 上选点F，求 $P E + E F + F P$ 的长度的最小值．

查看试题解析
26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，关于x的二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时，y的最大值与最小值的差；

(3)、一次函数 $y = (2 - m) x + 2 - m$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象交点的横坐标分别是a和b，且 $a < 3 < b$ ，求m的取值范围．

查看试题解析
27. 有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.

(1)、如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；

(2)、如图2，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点.点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动.点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；

(3)、如图3，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC．抛物线还满足：① $a < 0 ， a b \neq 0 ， c = 2$ ；②顶点D在以AB为直径的圆上. 点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上任意一点，且 $t = y_{0} - \sqrt{3} x_{0}$ .若 $t \leq m + \frac{1136}{505}$ 恒成立，求m的最小值.

查看试题解析
28. 如图1，抛物线y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x²+bx+c的对称轴为直线x＝﹣ $\frac{3}{2}$ ，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C ，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E ，与y轴交于点F ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF ，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G ，使得PG﹣ $\frac{\sqrt{10}}{10}$ EG的值最小，求出PG﹣ $\frac{\sqrt{10}}{10}$ EG的最小值．

(3)、如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，请求出点N的坐标．

查看试题解析
29. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 $A (0 ， 6)$ 和 $B (- 6 \sqrt{3} ， 0)$ ，点E为x轴正半轴上的一个动点，过点A、B、E作 $△ A B E$ 的外接圆 $⊙ C$ ，连结 $A C$ 并延长交圆于点D，连结 $B D$ 、 $D E$ ．

(1)、求证： $∠ O A E = ∠ B A D$ ．

(2)、当 $A D = 15$ 时，求 $O E$ 的长度．

(3)、如图2，连结 $O D$ ，求线段 $O D$ 的最小值及当 $O D$ 最小时 $△ A B E$ 的外接圆圆心C的坐标．

查看试题解析
30. 在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角 $△ A B C$ 的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A ， B在x轴上，且 $A B = 4$ ，抛物线经过A ， B ， C三点，如图1所示．

(1)、求抛物线所表示的二次函数表达式．

(2)、过原点任作直线l交抛物线于M ， N两点，如图2所示．
①求 $△ C M N$ 面积的最小值．

②已知 $Q (1 ， - \frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

查看试题解析