湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题15 规律问题

试卷更新日期：2021-06-04 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、单选题

1. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）

1	4
2	9

2	6
3	20

3	8
4	35

……

a	18
b	x

A、135 B、153 C、170 D、189

查看试题解析

2. 观察下列等式： $7^{0} = 1 ， 7^{1} = 7 ， 7^{2} = 49 ， 7^{3} = 343 ， 7^{4} = 2401 ， 7^{5} = 16807 ， \dots ，$ 根据其中的规律可得 $7^{0} + 7^{1} + 7^{2} + \dots + 7^{2019}$ 的结果的个位数字是（）

A、0 B、1 C、7 D、8

查看试题解析
3.
下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（）

A、135 B、170 C、209 D、252

查看试题解析
4. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（）

A、31 B、46 C、51 D、66

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点 $A_{1}$ ，作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ ；延长 $C_{1} B_{1}$ 交x轴于点 $A_{2}$ ，作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} C_{1}$ …按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（）

A、 $5 \times {(\frac{9}{4})}^{2017}$ B、 $5 \times {(\frac{9}{4})}^{2018}$ C、 $5 \times {(\frac{9}{4})}^{2019}$ D、 $5 \times {(\frac{9}{4})}^{2020}$

查看试题解析
6. 如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（）

A、119 B、120 C、121 D、122

查看试题解析
7. 已知实数 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如：-2的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 2)} = \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ ．如果 $a_{1} = - 1 ， a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数．．．依次类推，则 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{100} =$ （）

A、48.5 B、49.5 C、50 D、51.5

查看试题解析
8. 下图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 $O$ 为起点结六条线 $O A ， O B ， O C ， O D$ ， $O E ， O F$ 后，再从线 $O A$ 上某点开始按逆时针方向依次在 $O A$ ， $O B ， O C$ ， $O D$ ， $O E$ ， $O F$ ， $O A ， O B$ …上结网，若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、…，那么第2020个结点在（）

A、线 $O A$ 上 B、线OD上 C、线OE上 D、线 $O F$ 上

查看试题解析
9. 如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）

A、C、E B、E、F C、G、C、E D、E、C、F

查看试题解析
10.
在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁ ，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂ ，作正方形A₂B₂C₂C₁ ， …按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

A、5× $(\frac{3}{2})$ ²⁰¹⁰ B、5× $(\frac{9}{4})$ ²⁰¹⁰ C、5× $(\frac{9}{4})$ ²⁰¹² D、5× $(\frac{3}{2})$ ⁴⁰²²

查看试题解析
11. 如图，直线y＝ $\sqrt{3}$ x ，点A₁坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线于点B₁ ，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线于点B₂ ，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴于点A₃ ， …，按此做法进行下去，点A₂₀₁₉的坐标为（）

A、（2²⁰¹⁷ ， 0） B、（2²⁰¹⁸ ， 0） C、（2²⁰²⁰ ， 0） D、（2⁴⁰³⁴ ， 0）

查看试题解析
12.
如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正八边形“扩展”而来的多边形的边数为（）．

A、32 B、40 C、72 D、64

查看试题解析
13. 在一列数x₁ ， x₂ ， x₃ ， …中，已知x₁=1，且当k≥2时，xk＝xk−1+1−4([ $\frac{k - 1}{4}$ ]−[ $\frac{k - 2}{4}$ ])（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x₂₀₁₀等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
14.
如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P₁ ，第二次碰到正方形的边时的点为P₂…第n次碰到正方形的边时的点为P_n ，则P₂₀₁₅的坐标是（　　）

A、（5，3） B、（3，5） C、（0，2） D、（2，0）

查看试题解析
15.
如图，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁ ，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂ ，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃ ， …，如此继续，可以依次得到点D₄ ， D₅ ， …，D_n ，分别记△BD₁E₁ ， △BD₂E₂ ， △BD₃E₃ ， …，△BD_nE_n的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， …S_n ．则S_n为（）

A、 $\frac{a b}{2 {(n + 1)}^{2}}$ B、 $\frac{a b}{{(n + 1)}^{2}}$ C、 $\frac{a b}{n^{2}}$ D、 $\frac{a b}{8 n}$

查看试题解析

二、填空题

16. 观察下面的变化规律：
$\frac{2}{1 \times 3} = 1 - \frac{1}{3} ， \frac{2}{3 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} ， \frac{2}{5 \times 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ， \frac{2}{7 \times 9} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$ ，……

根据上面的规律计算：

$\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \dots + \frac{2}{2019 \times 2021} =$ ．

查看试题解析
17. 如图，将从1开始的正整数按规律排列，例如：位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第6列的数是．

查看试题解析
18. 将正偶数按下表排列：

根据上面的规律，则2018所在行是第行．

查看试题解析
19. 我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）ⁿ的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）¹⁵的展开式按x的升幂排列得：（s+x）¹⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₅x¹⁵

依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a₂＝；（2）若s＝2，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₅＝．

查看试题解析
20. 刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．

查看试题解析
21. 观察下列几组勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是；当直角三角形的最小直角边长是 $2 n + 1$ 时，则较长直角边长是．

查看试题解析
22. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x₁ ，第二个三角形数记为x₂ ， …第n个三角形数记为x_n ，则x_n+x_n₊₁= ．

查看试题解析
23.
请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）⁶=

查看试题解析
24. 一列数a₁ ， a₂ ， a₃…满足条件a₁＝ $\frac{1}{2}$ ，a_n＝ $\frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ （n≥2，且n为整数），则a₂₀₁₉＝．

查看试题解析
25. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为个．

查看试题解析
26. 观察下列等式：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

将以上三个等式两边分别相加得： $\frac{1}{1 \times 2} +$ $\frac{1}{2 \times 3} +$ $\frac{1}{3 \times 4}$ = $1 - \frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ = $1 - \frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

猜想并得出： $\frac{1}{n (n + 1)}$ = $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

根据以上推理，求出分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{1}{(x - 3) (x - 4)} = 1$ 的解是．

查看试题解析
27. a是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为的差倒数．如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2}$ =-1，-1的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ．已知a₁=- $\frac{1}{3}$ ，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₁₉= ．

查看试题解析
28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B O C$ 是正方形，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ，弧 $A A_{1}$ 是以点 $B$ 为圆心， $B A$ 为半径的圆弧；弧 $A_{1} A_{2}$ 是以点 $O$ 为圆心， $O A_{1}$ 为半径的圆弧，弧 $A_{2} A_{3}$ 是以点 $C$ 为圆心， $C A_{2}$ 为半径的圆弧，弧 $A_{3} A_{4}$ 是以点 $A$ 为圆心， $A A_{3}$ 为半径的圆弧.继续以点 $B$ ， $O$ ， $C$ ， $A$ 为圆心按上述作法得到的曲线 $A A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ …称为正方形的“渐开线”，则点 $A_{2019}$ 的坐标是．

查看试题解析
29. 两个反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ ，y＝ $\frac{6}{x}$ 在第一象限内的图象如图所示，点P₁ ， P₂ ， P₃…，P₂₀₁₇在反比例函数y＝ $\frac{6}{x}$ 图象上，它们的横坐标分别是x₁ ， x₂ ， x₃…，x₂₀₁₇ ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2017个连续奇数，过点P₁ ， P₂ ， P₃ ， …P₂₀₁₇分别作y轴的平行线，与y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象交点依次是Q₁（x₁ ， y₁），Q₂（x₂ ， y₂），Q₃（x₃ ， y₃），…，Q₂₀₁₇（x₂₀₁₇ ， y₂₀₁₇），则y₂₀₁₇＝．

查看试题解析
30. 如图，在平面直角坐标系中，点A₁ ， A₂ ， A₃…和B₁ ， B₂ ， B₃ ， …分别在直线y＝ $\frac{1}{5}$ x+b和x轴上．△OA₁B₁ ， △B₁A₂B₂ ， △B₂A₃B₃ ， …都是等腰直角三角形如果点A₁（1，1），那么点A₂₀₁₉的纵坐标是．

查看试题解析
31. 取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证发现都是正确.例如：取自然数5，最少经过下面的5步运算可得1，如图：

请问，如果一个自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为

查看试题解析
32.
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x，点A₁（0，1），过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁ ，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交y轴于点A₂；再过点A₂作y轴的垂线交直线l于点B₂ ，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交y轴于点A₃ ， …，按此作法进行下去，则OA₂₀₁₇= ．

查看试题解析

三、综合题

33. 阅读下面的材料并解答后面所给出的问题：
① $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；② $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ ．

两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如： $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ．数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了．

(1)、 $\sqrt{5}$ 的有理化因式是， $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 的有理化因式是．

(2)、求 $\frac{3}{\sqrt{5} - 2}$ 的值；

(3)、求 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \begin{matrix} \dots \end{matrix} + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}$ 的值．

查看试题解析
34. 观察下列等式：
第一个等式： $a_{1} = \frac{2}{1 + 3 \times 2 + 2 \times 2^{2}} = \frac{1}{2 + 1} - \frac{1}{2^{2} + 1}$ ；

第二个等式： $a_{2} = \frac{2}{1 + 3 \times 2^{2} + 2 \times {(2^{2})}^{2}} = \frac{1}{2^{2} + 1} - \frac{1}{2^{3} + 1}$ ；

第三个等式： $a_{3} = \frac{2}{1 + 3 \times 2^{3} + 2 \times {(2^{3})}^{2}} = \frac{1}{2^{3} + 1} - \frac{1}{2^{4} + 1}$ ；

第四个等式： $a_{4} = \frac{2}{1 + 3 \times 2^{4} + 2 \times {(2^{4})}^{2}} = \frac{1}{2^{4} + 1} - \frac{1}{2^{5} + 1}$ ；

按上述规律，回答下列问题：

(1)、请写出第六个等式：a₆==；

(2)、用含n的代数式表示第n个等式：a_n==；

(3)、a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=（得出最简结果）；

(4)、计算：a₁+a₂+…+a_n ．

查看试题解析