湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题16 新定义和阅读理解型

由表格可知方程x²+12x﹣15=0的正根的十分位是（　　）

x³﹣（n²+1）x+n＝x³﹣n²x﹣x+n＝x（x²﹣n²）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x²+nx﹣1）．

理解运用：如果x³﹣（n²+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x²+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x²+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x²+nx﹣1＝0的所有解就是方程x³﹣（n²+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x³﹣5x+2＝0的解为 ．

阅读下面材料：

如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I、F在OC上，点H、E在半圆上，求证：IG=FD．小云发现连接已知点得到两条线段，使可证明IG=FD．

请回答：小云所作的两条线段分别是 和 ，证明IG=FD的依据是 ．

（1）如果M（2x，1）=M（1，﹣1），求实数x的值；

（2）若令y=M（x+$\frac{3}{2}$ ， x﹣$\frac{1}{2}$），则y是x的函数，当自变量x在﹣1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．

（1）求min{x²﹣1，﹣2}；

（2）已知min{x²﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；

（3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x²﹣2x﹣15，m（x+1）}=x²﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．

（1）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；

（2）直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．

举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．

应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=$\frac{1}{2}$BP，求证：点P是△ABC的内心．

探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=$\frac{1}{2}$AP，求∠A的度数．

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁ ， r₂ ， 腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC ， 即：$\frac{1}{2}$AB•r₁+$\frac{1}{2}$AC•r₂=$\frac{1}{2}$AB•h，∴r₁+r₂=h

请你参照材料给出的解题方法，解下列方程

①（x²﹣x）²﹣4（x²﹣x）﹣12=0．

②$\frac{2x-1}{x}$﹣$\frac{3x}{2x-1}$=2．

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$、$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$\frac{5}{\sqrt{3}}$=$\frac{5\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}$=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$；

$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2\times \left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$=$\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1}$=$\sqrt{3}$-1．以上这种化简过程叫做分母有理化．

$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．

（1）请用其中一种方法化简 $\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$；

（2）化简：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+...+$\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$ ．

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：$\left\{\begin{array}{c}x+y=\frac{7}{2}\\ xy=3\end{array}\right.$ ， 消去y化简得：2x²﹣7x+6=0，

∵△=49﹣48＞0，∴x₁=?x₂=　?　，

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．

阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：

（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．

（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．

【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$AC•r+$\frac{1}{2}$AB•r=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r．

∴r= $\frac{2S}{a+b+c}$ ．

（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；

（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D(如图)，则sinB=$\frac{AD}{c}$ ， sinC=$\frac{AD}{b}$ ， 即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$.同理有：$\frac{c}{\sin C}$=$\frac{a}{\sin A}$ ， $\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$ ， 所以$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.
（1）如图，△ABC中，∠B=45⁰ ， ∠C=75⁰ ， BC=60，则∠A=      ；AC=       ；
（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.

定义：如图，若双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的对径．

（1）求双曲线$y=\frac{1}{x}$的对径；
（2）若某双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的对径是$10\sqrt{2}$ ． 求k的值．