湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题17 探究型问题

九年级的小玲从小就喜欢画画，探究问题．下面请看她的探究过程：

（a）以AB为直径画半⊙O；（b）在半⊙O上任意取一点C；（c）画∠ACB的平分线与AB相交于点D； （d）画CD的中垂线m与AC、BC分别相交于E、F；（d）连接DE、DF．

结果她发现：（1）∠ADE与∠BDF互余；（2）四边形CEDF为正方形；（3）△AED与△DFB相似；（4）把△BFD绕着D点按逆时针方向旋转90°，B点的位置恰好在△ABC的AC边的直线上．

则你认为其中正确的有（　　）

如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（　　）

在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

在小孔成像问题中，如图可知CD的长是物长AB长的（　　）

为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax²+bx+c（如图），则下列结论：①a＜-$\frac{1}{60}$；②-$\frac{1}{60}$＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是（　　）

如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是（　　）

小颖用计算器探索方程ax²+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）

如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（　　）

则方程x²+5x﹣3=0的一个解x的取值范围为（　　）

如图，为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组做了如下的探索：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）7.8米的点E处，然后观察者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（　　）米．

根据以上信息请你确定方程ax²+bx+c=0的一个解的范围是　 　．

如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：

猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为　 　．

数字 形式	1	2	3	4	5	6	7	8	9
纵式	|	||	|||	||||	|||||
横式

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： $\begin{array}{c}6728\\ 6708\end{array}$ ，则 | 表示的数是 ．

依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘：


（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况；
（2）求出闯关成功的概率。

如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标：B′                    、C′                   ；

归纳与发现：

结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为                    ．

学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．

（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH．

 （1）探究新知：


①如图，已知AD∥BC ， AD＝BC ， 点M ， N是直线CD上任意两点．试判断△ABM与△ABN的面积是否相等。 
②如图，已知AD∥BE ， AD＝BE ， AB∥CD∥EF ， 点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．  
（2）结论应用：   
如图③，抛物线$y=a{x}^2+bx+c$的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D ． 试探究在抛物线$y=a{x}^2+bx+c$上是否存在除点C以外的点E ， 使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．

探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．

应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

如图，圆O的半径为r．

（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．

（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.

（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．

在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例：

当2b＜a时，如图（1），在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现：

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90度到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点G顺时针旋转90度到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，．∠FHC=90°进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究：

正方形的面积是多少；（用含a，b，的式子表示）

类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：

小明通过探究后发现：当b≤a，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．

（1）在图①中，求∠AFB的度数；

（2）在图②中，∠AFB的度数为，图③中，∠AFB的度数为；

（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．

①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

②当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（$\frac{1}{3}$ ， $\frac{8}{3}$）；

③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于$\frac{3}{2}$；

④当m≠0时，函数图象总经过两个定点．

请你判断四条结论的真假，并说明理由．

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，如图 $1$ 所示：