湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题18 综合问题

试卷更新日期：2021-06-04 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，与对角线 $B D$ 相交于点 $N$ ， $F$ 是线段 $C E$ 的中点，则下列结论中：① $O F = \frac{5}{6}$ ；② $O N = \frac{25}{26}$ ；③ $S_{Δ C O N} = \frac{15}{13}$ ；④ $\sin ∠ A C E = \frac{5}{13}$ ，正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）

⑴EF＝ $\sqrt{2}$ OE；

⑵S_{四边形OEBF}：S_{正方形ABCD}＝1：4；

⑶BE＋BF＝ $\sqrt{2}$ OA；

⑷在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ $\frac{3}{4}$ ；

⑸OG•BD＝AE²＋CF² ．

A、（1）（2）（3）（5） B、（1）（3）（4）（5） C、（2）（3）（4）（5） D、（1）（2）（3）（4）

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3. 已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④当AN＝ $\frac{1}{4}$ 时，PC＝ $\frac{5}{17} \sqrt{17}$ ．其中结论正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象交 $x$ 轴于 $A 、 B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．直线 $y = - x + c$ 与二次函数的图象交于 $C 、 D$ 两点， $D$ 点在 $x$ 轴的下方，而且 $D$ 的横坐标小于4，下列结论：
① $4 a c - b^{2} < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $5 a + 3 b + c > 0$ ；④不等式 $- x + c < a x^{2} + b x + c$ 的取值范围是 $0 < x < 4$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，其对称轴为直线 $x = 1$ 且与x轴的一个交点坐标是 $(3 ， 0)$ ，则下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $a + 2 b - c > 0$ ；④ $a m^{2} - a < b (1 - m)$ （m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，在BC边上取一点E ，连接AE、DE ，使得DE＝AD ， H为AE中点，连接DH ，在DE上取一点F ，连接AF ，将△AEF沿着AF翻折得到△AGF ，且GF⊥AD于M ，连接GD ，若AE＝4 $\sqrt{5}$ ，则点F到直线DG的距离为（）

A、2 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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7. 如图，平面直角坐标系中，点A₁的坐标为（1，2），以O为圆心，OA₁的长为半径画弧，交直线y＝ $\frac{1}{2}$ x于点B₁；过点B₁作B₁A₂∥y轴交直线y＝2x于点A₂ ，以O为圆心，OA₂长为半径画弧，交直线y＝ $\frac{1}{2}$ x于点B₂；过点B₂作B₂A₃∥y轴交直线y＝2x于点A₃ ，以点O为圆心，OA₃长为半径画弧，交直线y＝ $\frac{1}{2}$ x于点B₃；…按如此规律进行下去，点B₂₀₂₁的坐标为（）

A、（2²⁰²¹ ， 2²⁰²¹） B、（2²⁰²¹ ， 2²⁰²⁰） C、（2²⁰²⁰ ， 2²⁰²¹） D、（2²⁰²² ， 2²⁰²¹）

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8. 如图，点A、M是第一象限内双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k \neq 0$ ， $x > 0$ ）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 \pm \sqrt{3}$

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9. 如图， $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ ，…是分别以A₁ ， A₂ ， A₃ ， …为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C₁（x₁ ， y₁），C₂（x₂ ， y₂），C₃（x₃ ， y₃），…均在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，则 $y_{1} + y_{2} + ...... + y_{100}$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $20$ D、 $2 \sqrt{10}$

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10. 如图，是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A ， B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1 $<$ x $<$ 4时，有y₂ $<$ y₁；⑤若ax₁²+bx₁＝ax₂²+bx₂ ，且x₁≠x₂ ，则x₁+x₂＝1．正确的为（）

A、①④⑤ B、①③④ C、①③⑤ D、①②③

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11. 如图，矩形 $E F G H$ 的四个顶点分别在矩形 $A B C D$ 的各条边上， $A B = E F$ ， $F G = 3$ ， $G C = 4$ ．有以下四个结论：① $∠ B G F = ∠ C H G$ ；② $△ B F G ≌ △ D H E$ ；③ $\tan ∠ B F G = \frac{1}{3}$ ；④矩形 $E F G H$ 的面积是 $9 \sqrt{2}$ ．其中正确的结论为（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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12. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②9a+c＞3b；③若点A（﹣3，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ，y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂：④若方程ax²+bx+c＝﹣3（a≠0）的两根为x₁和x₂ ，且x₁＜x₂ ，则x₁＜﹣1＜3＜x₂；⑤m（am+b）﹣b＜a ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0，x＞0），y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k₁﹣k₂的值为（　　）

A、12 B、﹣12 C、6 D、﹣6

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14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G ，过点B作BE⊥CG ，垂足为E ，且在AD上，BE交PC于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（　　）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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15. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE²＝AD•AF，其中正确结论的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

16. 如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 $A B C D$ 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 $E F G H$ ．图中 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ 表示折痕，折后 $B ， D$ 的对应点分别是 $M ， N$ ．若 $A B = 8 c m$ ， $A D = 10 c m$ ， $∠ B = 60 °$ ，则纸片折叠时 $A H$ 的长应取．

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17. 如图，O是正△ABC内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论正确的有． (请填序号)
①点O与 $O^{'}$ 的距离为4；② $∠ A O B = 150 °$ ；③ $S_{四边形 A O B O^{'}} = 6 + 3 \sqrt{3}$ ；④ $S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9}{4} \sqrt{3}$ ．

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18. 已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为．

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19. 反比例函数y＝ $\frac{a + 4}{x}$ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x²－x＋ $\frac{1}{4}$ ＝0的根的情况是．

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20. 如图，直线y＝4﹣x与双曲线y $= \frac{3}{x}$ 交于A ， B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C ，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是．

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21. 已知： $3^{1} = 3 ， 3^{2} = 9 ， 3^{3} = 27 ， 3^{4} = 81 ， 3^{5} = 243$ ……则 $3^{1} + 3^{2} + \dots \dots + 3^{2019}$ 的末尾数字是.

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22. 如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=8cm，EF=15cm，则边AD的长是cm．

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23. 直线y=k₁x+b₁（k₁＞0）与y=k₂x+b₂（k₂＜0）相交于点（-3，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为15，那么b₁-b₂等于．

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24. 已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F ，连接BF交AC于点M ，连接DE、BO ，若∠COB＝60°，FO＝FC ，则下列结论：①FB⊥OC ， OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE＝3：2，其中符合题意结论是．

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三、综合题

25. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点D、E在 $⊙ O$ 上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得 $∠ D A C = ∠ A E D$ .

(1)、求证：AC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点E是的 $\overset{⌢}{B D}$ 中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；

②若 $⊙ O$ 的半径为3，BF=2，求AC的长.

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26. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径，过点O作 $O F ⊥ A B$ ，交 $B C$ 的延长线于点F，交 $A C$ 于点D，E为 $D F$ 上一点，连接 $E C$ ，其中 $E C = E D$ .

(1)、求证：E是 $D F$ 的中点；

(2)、求证： $E C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、如果 $O A = 4$ ， $E F = 3$ ，求弦 $A C$ 的长.

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27. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{m}{x}$ （m为常数， $m > 1$ ， $x > 0$ ）的图象经过点 $P (m ， 1)$ 和 $Q (1 ， m)$ ，直线 $P Q$ 与x轴、y轴分别交于C，D两点.

(1)、求 $∠ O C D$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $O Q$ 、 $O P$ ，当 $∠ P O C = ∠ O C D - ∠ D O Q$ 时，求此时m的值；

(3)、如图3，点A、点B分别是在x轴和y轴正半轴上的动点.再以 $O A$ 、 $O B$ 为邻边作矩形 $O A M B$ .若点M恰好在函数 $y = \frac{m}{x}$ （m为常数， $m > 1$ ， $x > 0$ ）的图象上，且四边形 $B A P Q$ 为平行四边形，求此时 $O A$ 、 $O B$ 的长度.

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28. 对于一个函数给出如下定义；对于函数y，若当 $a \leq x \leq b$ ，函数值y满足 $m \leq y \leq n$ ，且满足 $n - m = k (b - a)$ ，则称此函数为“k属合函数”.例如：正比例函数 $y = - 2 x$ ，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $- 6 \leq y \leq - 2$ ，则 $- 2 - (- 6) = k (3 - 1)$ ，求得： $k = 2$ ，所以函数 $y = - 2 x$ 为“2属合函数”.

(1)、一次函数 $y = a x - 1 (a < 0 ， 1 \leq x \leq 3)$ 为“1属合函数”，求a的值.

(2)、反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， a \leq x \leq b$ ，且 $0 < a < b$ ）是“k属合函数”，且 $a + b = \sqrt{2021}$ ，请求出 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、已知二次函数 $y = - 3 x^{2} + 6 a x + a^{2} + 2 a$ ，当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，y是“k属合函数”，求k的取值范围.

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29. 定义：若抛物线L：y＝ax²+bx+c的图象恒过定点M（x₀ ， y₀），则称M（x₀ ， y₀）为抛物线L的“不动点”.已知：若抛物线L：y＝ax²﹣2ax+x+1（a＜0）；

(1)、求抛物线L的不动点坐标；

(2)、已知平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（1，0），C（3，0），以点B为圆心，OB为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点C'，当点P为⊙B上运动时，求线段AC'长度的最大值；

(3)、在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线x＝2；
①求抛物线L的解析式；

②若直线PC交抛物线L于点E（x₁ ， y₁）、F（x₂ ， y₂），交y轴于点Q，平面内一点H坐标为H（4 $\sqrt{2}$ ，2），记d＝|x₁﹣x₂|，当点P在⊙B上运动时，求（ $\frac{Q H}{d}$ ）²的取值范围.

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30. 如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6 $\sqrt{2}$ ，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F.

(1)、求证：AB•CF＝BD•CD；

(2)、如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；

(3)、若CD＝3BD，求 $\frac{A F}{E F}$ .

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31. 规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”.

(1)、已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；

(2)、已知二次函数y＝ax²+4ax+4a﹣1的图象为C₁；
①求C₁关于点R（1，0）的对称函数图象C₂的函数解析式；

②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；

(3)、若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx²+（m﹣ $\frac{2}{3}$ ）x﹣（2m﹣ $\frac{3}{8}$ ）都不通过点P，求符合条件的点P坐标.

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32.

(1)、（基础巩固）
如图1，在 $△ A B D$ 中， $D$ 为 $A B$ 上一点， $∠ A C D = ∠ B$ .求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ .

(2)、（尝试应用）
如图2，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点， $F$ 为 $C D$ 延长线上一点， $∠ B F E = ∠ A$ ，若 $B F = 4$ ， $B E = 3$ ，求 $A D$ 的长.

(3)、（拓展提高）
如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 上一点， $F$ 是 $△ A B C$ 内一点， $E F // A C$ ， $A C = 2 E F$ ， $∠ E D F \dot{=} \frac{1}{2} ∠ B A D$ ， $A E = 2$ ， $D F = 5$ ，求菱形 $A B C D$ 的边长.

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33. 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标.

(3)、点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.

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34. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = ∠ C$ ， $∠ B \neq ∠ D$ ，则称四边形 $A B C D$ 为准平行四边形．

(1)、如（图①）， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是⊙O上的四个点， $∠ A P C = ∠ C P B = 60 °$ ，延长 $B P$ 到 $Q$ ，使 $A Q = A P$ ．求证：四边形 $A Q B C$ 是准平行四边形；

(2)、如（图②），准平行四边形 $A B C D$ 内接于⊙O， $A B \neq A D$ ， $B C = D C$ ，若⊙O的半径为5， $A B = 6$ ，求 $A C$ 的长；

(3)、如（图③），在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，若四边形 $A B C D$ 是准平行四边形，且 $∠ B C D \neq ∠ B A D$ ，请直接写出 $B D$ 长的最大值．

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35. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴的两个交点分别为A、B，与 $y$ 轴相交于点C，点A（ $- 2$ ，0）， $B O = 4 A O$ ，连接BC，tan∠OCB=2．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．
①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标．

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36. 对于抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，我们将它的顶点以及它与 $x$ 轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”．

(1)、下列抛物线，有“内接三角形”的是；（填序号）
① $y = x^{2} + 2 x + 1$ ；② $y = - \sqrt{3} x^{2} - 3 x + 1$ ；③ $y = 3 x^{2} - 2 x + 7$

(2)、如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 6 x + c$ 与 $x$ 轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”△ABD为等边三角形．
①求 $a c$ 的值；

②如图2，若该抛物线经过点（0，6），∠BAD的平分线交BD于点P，点M为射线AB上一点．连接直线PM交射线AD于点N，求 $\frac{1}{A M} + \frac{1}{A N}$ 的值．

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37. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于第一象限C（1，4）、D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC、OD（O是坐标原点）．

(1)、求△DOC的面积；

(2)、将直线AB向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图象只有1个交点？

(3)、双曲线上是否存在一点P，使△POC与△POD的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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38. 阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解．

(1)、问题：方程 $6 x^{3} + 14 x^{2} - 12 x = 0$ 的解是： $x_{1}$ =0， $x_{2}$ = ， $x_{3}$ =；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

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39. 已知正方形ABCD中AC与BD交于点O ，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E ，过D作DH⊥AE于H ，设直线DH交AC于点N ．

(1)、如图1，当M在线段BO上时，求证：OM＝ON；

(2)、如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN ，当EN $//$ BD时，求证：四边形DENM是菱形；

(3)、在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长．

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