上海市浦东新区2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的单调递减区间为.

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2. 已知 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (4 ， x)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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3. 已知 $\cos x = \frac{3}{5}$ ，则 $| \begin{matrix} \sin x & \cos^{2} x \\ 1 & \sin x \end{matrix} | =$ .

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4. 若从总体中随机抽取的样本为：-2､-2､-1､1､1､3､2､2､4､2，则该总体标准差的点估计值是.(精确到0.1)

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5. 方程 $\log_{2} (x + 14) + \log_{2} (x + 2) = 3 + \log_{2} (x + 6)$ 的解是.

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6. 在5张卡片上分别写上数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为.

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7. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若点 $(n ， S_{n})$ （ $n \in N^{*}$ ）在函数的反函数的图象上，则 $a_{n}$ =.

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8. 若复数 $z = x + y i$ ( $x ， y \in R$ ， $i$ 为虚数单位)满足 $| x | + | y | \leq 1$ ，则 $z$ 在复平面上所对应的图形的面积是.

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9. 若直线3x+4y+m=0与圆 ${\begin{matrix} x=1+cos θ \\ y=-2+sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是．

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10. 设函数 $f (x) = \cos x - m (x \in [0, 3 π])$ 的零点为 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ､ $x_{3}$ ，若 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ ､ $x_{3}$ 成等比数列，则实数 $m$ 的值为.

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x & x \leq a \\ - x + 2 & x > a \end{array}$ ，若存在实数 $x_{0}$ ，使得对于任意的实数x都有 $f (x) \leq f (x_{0})$ 成立，则实数a的取值范围是.

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12. 已知 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ，若存在 $m ， n \in R$ ，使得 $m \vec{A B} + \vec{O A}$ 与 $n \vec{A B} + \vec{O B}$ 夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $| (m \vec{A B} + \vec{O A}) - (n \vec{A B} + \vec{O B}) | = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{A B} |$ 的最小值为.

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二、单选题

13. 下列命题正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、三条相交直线确定一个平面 C、对于直线a、b、c，若 $a ⊥ b, b ⊥ c$ ，则 $a / / c$ D、对于直线a、b、c，若 $a / / b, b / / c$ ，则 $a / / c$

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14. 关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m x + y = - 1, \\ 3 m x - m y = 2 m + 3, \end{array}$ 的系数行列式 $D = 0$ 是该方程组有解的（）．

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分且必要条件 D、既非充分也非必要条件

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15. 已知两定点 $A (- 1 ， 0)$ ､ $B (1 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $\tan ∠ P A B \cdot \tan ∠ P B A = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (y \neq 0)$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (y \neq 0)$

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16. 已知函数 $f (x) = \sin x$ ，各项均不相等的数列 ${a_{n}}$ 满足 $| a_{i} | \leq \frac{π}{2} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，记 $G (n) = \frac{f (a_{1}) + f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (a_{n})}{a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}}$ .①若 $a_{n} = {(- \frac{1}{2021})}^{n}$ ，则 $G (2000) > 0$ ；②若 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} \neq 0$ ，则 $G (n) > 0$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①对②错 D、①错②对

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三、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，点 $P$ ､ $Q$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ､ $B C$ 的中点， $C_{1} Q$ 与底面 $A B C$ 所成的角为 $\arctan 2$ .

(1)、求异面直线 $P B$ 与 $Q C_{1}$ 所成角的大小(结果用反三角函数表示)；

(2)、求点 $C$ 与平面 $A Q C_{1}$ 的距离.

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，若 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月 $k + 1 (9 \leq k \leq 29, k \in N^{*})$ 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.

(1)、若 $k = 9$ ，求11月1日至11月10日新感染者总人数；

(2)、若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.

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20. 已知直线 $l ： y = \frac{1}{3} x + t$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点（如图所示），且 $P (3 \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ 在直线l的上方.

(1)、求常数t的取值范围；

(2)、若直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值；

(3)、若 $△ A P B$ 的面积最大，求 $∠ A P B$ 的大小.

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21. 已知 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 为两非零有理数列（即对任意的 $i \in N^{*}$ ， $a_{i}$ ， $b_{i}$ 均为有理数）， ${d_{n}}$ 为一无理数列（即对任意的 $i \in N^{*}$ ， $d_{i}$ 为无理数）.

(1)、已知 $b_{n} = - 2 a_{n}$ ，并且 $(a_{n} + b_{n} d_{n} - a_{n} d_{n}^{2}) (1 + d_{n}^{2}) = 0$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，试求 ${d_{n}}$ 的通项公式.

(2)、若 ${d_{n}^{2}}$ 为有理数列，试证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $(a_{n} + b_{n} d_{n} - a_{n} d_{n}^{2}) (1 + d_{n}^{2}) = 1 + d_{n}$ 恒成立的充要条件为 ${\begin{array}{l} a_{n} = \frac{1}{1 - d_{n}^{4}} \\ b_{n} = \frac{1}{1 + d_{n}^{2}} \end{array}$ .

(3)、已知 $\sin 2 θ = \frac{24}{25} (0 < θ < \frac{π}{2})$ ， $d_{n} = \sqrt[3]{\tan (n \cdot \frac{π}{2} + {(- 1)}^{n} θ)}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ， $(a_{n} + b_{n} d_{n} - a_{n} d_{n}^{2}) (1 + d_{n}^{2}) = 1$ 恒成立，试计算 $b_{n}$ .

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