上海市黄浦区2021届高三三模数学试题

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | | x - 1 | > 2}$ ，则 $C_{U} A =$ .

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2. 函数 $y = \sqrt{1 - \lg x}$ 的定义域为.

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，公比为 $- \frac{1}{3}$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，则 $\lim_{n \to + \infty} S_{n} =$ .

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4. 设复数 $z = | \begin{matrix} \cos α & i \\ \sin α & \sqrt{2} + i \end{matrix} |$ （i为虚数单位），若 $| z | = \sqrt{2}$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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5. 若 ${(a x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为 $- \frac{5}{2}$ ，则实数a的值为.

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6. 设f^﹣1（x）为函数f（x）＝log₂（4^x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f^﹣1（x）时，x的值为．

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7. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm²)为.

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8. 一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为 $x ､ y ､ z$ ，当且仅当 $y > x$ 且 $y > z$ 时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合 ${1, 2, 3, 4, 5}$ 中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为.

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点为 $A,$ 右焦点为 $F,$ 以 $A$ 为圆心， $R$ 为半径的圆与椭圆相交于 $B, C$ 两点，若直线 $B C$ 过点 $F,$ 则 $R$ 的值为．

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10. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若 $\overset{⇀}{A M}$ ＝λ $\overset{⇀}{A B}$ ＋μ $\overset{⇀}{B C}$ ，则λ＋μ＝

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11. 已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $l$ ： $k x - y + 4 = 0$ ( $k > 0$ )上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 y = 0$ 的切线 $P A$ ， $A$ 为切点.若 $| P A |$ 最小为 $2$ 时，圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - m y = 0$ 与圆 $C$ 外切，且与直线 $l$ 相切，则 $m$ 的值为

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12. 若实数 $a$ ､ $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 4 b + 3 = 0$ ，函数 $f (x) = a \cdot sin 2 x + b \cdot cos 2 x + 1$ 的最大值为 $φ (a, b)$ ，则 $φ (a, b)$ 的最小值为.

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二、单选题

13. 已知 $1 + i$ 是关于x的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0$ （ $a, b \in R$ ）的一个根，则 $a + b =$ （）

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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14. 设α、β是两个不同的平面，则 $α ⊥ β$ 的充要条件是（）.

A、平面α内任意一条直线与平面β垂直 B、平面α、β都垂直于同一条直线 C、平面α、β都垂直于同一平面 D、平面α内存在一条直线与平面β垂直

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15. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左、右焦点，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + b x + 2 ， x \leq 0 \\ | a - x | ， x > 0 \end{array}$ ，若两条平行直线 $6 x + 8 y + a = 0$ 与 $3 x + b y + 11 = 0$ 之间的距离为a，则函数 $y = f (x) - \ln (x + 2)$ 零点的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a - \frac{3}{2^{x} + 1}$ .（a为实常数）

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、当 $f (x)$ 为奇函数时，对任意 $x \in [1, 6]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{u}{2^{x}}$ 恒成立，求实数u的最大值.

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18. 已知如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60^{\circ}$ 且 $A B = 2 ， E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起使 $A D = \sqrt{2}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C D E$ ，在四棱锥 $A - B C D E$ 中求解下列问题：

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若 $P$ 为 $A C$ 的中点，求直线 $P B$ 与平面 $A B D$ 所成的角.

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19. 如图，某城市设立以城中心 $O$ 为圆心、 $r$ 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 $O$ 正东方向上有一条高速公路 $P B$ 、西南方向上有一条一级公路 $Q C$ ，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆 $O$ 相切的直道 $B C$ ．已知通往一级公路的道路 $A C$ 每公里造价为 $a$ 万元，通往高速公路的道路 $A B$ 每公里造价是 $m^{2} a$ 万元，其中 $a ， r ， m$ 为常数，设 $∠ P O A = θ$ ，总造价为 $y$ 万元．

(1)、把 $y$ 表示成 $θ$ 的函数 $y = f (θ)$ ，并求出定义域；

(2)、当 $m = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ 时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

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20. 已知直线 $l : y = x + m$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $A ､ B$ 两点.

(1)、设直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $T$ ，若 $\vec{A T} = 2 \vec{T B}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若点 $M ､ N$ 在抛物线 $C$ 上，且关于直线 $l$ 对称，求证： $A ､ B ､ M ､ N$ 四点共圆：

(3)、记 $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，过抛物线 $C$ 上的点 $P ､ Q$ 作准线的垂线，垂足分别为点 $U ､ V$ ，若 $△ U V F$ 的面积是 $△ P Q F$ 的面积的两倍，求线段 $P Q$ 中点的轨迹方程.

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21. 集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} (a_{i} \in N^{*}, i = 1, 2 \dots, n)$ ，集合 $T = {b_{i j} | b_{i j} = a_{i} + a_{j}, 1 \leq i < j \leq n}$ ，若集合 $T$ 中元素个数为 $\frac{n (n - 1)}{2}$ ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 $S$ 为“好集合”.

(1)、判断集合 $S_{1} = {1, 2, 3}$ 、 $S_{2} = {1, 2, 3, 4}$ 是否为“好集合”；

(2)、若集合 $S_{3} = {1, 3, 5, m} (m > 5)$ 是“好集合”，求 $m$ 的值；

(3)、“好集合” $S$ 的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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