山东省泰安肥城市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = (- 3 - 2 i) i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-3 B、 $- 3 i$ C、2 D、 $2 i$

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2. 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（）

A、一个六棱柱中挖去一个棱柱 B、一个六棱柱中挖去一个棱锥 C、一个六棱柱中挖去一个圆柱 D、一个六棱柱中挖去一个圆台

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3. 下列命题正确的是（）

A、铺的很平的一张纸是一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、三点确定一个平面 D、梯形可以确定一个平面

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4. 用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（）

A、正方形的直观图为平行四边形 B、菱形的直观图是菱形 C、梯形的直观图可能不是梯形 D、正三角形的直观图一定为等腰三角形

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5. 如果用 $\vec{i}, \vec{j}$ 分别表示 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向上的单位向量，且 $A (2, 3), B (4, 2)$ ，则 $\vec{A B}$ 可以表示为（）

A、 $2 \vec{i} - \vec{j}$ B、 $4 \vec{i} + 2 \vec{j}$ C、 $2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ D、 $- 2 \vec{i} + \vec{j}$

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6. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列命题正确的是（）

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{1}}$ ，则 $z_{1}$ 为实数 C、若 $z_{2}^{2} > 0$ ，则 $z_{2}$ 为纯虚数 D、若 ${(z_{1} - 1)}^{2} + {(z_{2} - 1)}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 1$

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7. 已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面α内一定存在一条直线m，使得直线l与直线m（）

A、平行 B、相交 C、异面 D、垂直

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8. 如图，在等腰△ $A B C$ 中，已知 $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 1 ， ∠ A = 120^{o} ， E ， F$ 分别是边 $A B ， A C$ 的点，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B} ， \vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，其中 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ 且 $λ + 2 μ = 1$ ，若线段 $E F ， B C$ 的中点分别为 $M ， N$ ，则 $| \vec{M N} |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\sqrt{21}$

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二、多选题

9. 已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、已知复数 $z = x + y i (x, y \in R)$ 且 $| z - 1 | = | z - i |$ ，则 $x = y$ D、若复数 $(m^{2} + 3 m - 4) + (m^{2} - 2 m - 24) i$ 是纯虚数，则 $m = 1$ 或 $m = - 4$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，记向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为θ，则（）

A、 $λ > 2$ 时，θ为锐角 B、 $λ < 2$ 时，θ为钝角 C、 $λ = 2$ 时，θ为直角 D、 $λ = - \frac{1}{2}$ 时，θ为平角

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11. 设 $a, b, c$ 分别为△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，下列条件中可以判定△ $A B C$ 一定为等腰三角形的有（）

A、 $a \cos A = b \cos B$ B、 $a \cos B = b \cos A$ C、 $b \sin B = c \sin C$ D、 $a = 2 b \cos C$

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12. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则下列关于该多面体的说法中正确的是（）

A、多面体有12个顶点，14个面 B、多面体的体积为 $\frac{5}{6}$ C、多面体的表面积为3 D、多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）

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三、填空题

13. 已知向量 $| \vec{a} | = 6$ ， $\vec{e}$ 为单位向量，当向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{e}$ 的夹角等于 $45^{\circ}$ 时，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{e}$ 上的投影向量是．

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14. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，过顶点 $B ， D ， A_{1}$ 截下一个三棱锥．则剩余部分的体积是．

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15. 已知在△ABC中，a＝x ， b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是

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16. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积 $S = 2 π R h$ ，其中 $R$ 为球的半径， $h$ 球冠的高)，设球冠底的半径为 $r ，$ 周长为 $C ，$ 球冠的面积为 $S$ ，则 $\frac{r}{R}$ 的值为．（结果用 $S 、 C$ 表示）

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四、解答题

17. 从①z与复数 $2 - 12 i$ 相等，②z与复数 $12 + 16 i$ 成共轭复数，③z在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：若复数 $z = (1 + i) m^{2} + (5 - 2 i) m + (6 - 15 i) (m \in R)$ ， ▲ ．求方程 $x^{2} + m x + 1 = 0 (x \in C)$ 的根．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知直线 $a, b$ ，平面 $α, β$ ，且 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α // β$ ．判断直线 $a, b$ 的位置关系，并说明理由．

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19. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．

(1)、求此几何体的表面积；

(2)、如果点 $P ， Q$ 在直观图中所示位置， $P$ 为所在母线中点， $Q$ 为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从 $P$ 点到 $Q$ 点的最短路径长．

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20.

(1)、叙述并证明余弦定理；

(2)、海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为 $8 \sqrt{3}$ 海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求灯塔C与D处之间的距离．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．已知 $c = 3$ ，向量 $\vec{p} = (a, c)$ ， $\vec{q} = (\sin A, \sqrt{3} \cos C)$ ，且 $\vec{p} / / \vec{q}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的直径；

(2)、若 $\sin A + \sin B = 2 \sqrt{6} \sin A \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 $P - A B C D$ ，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交PB、PC、PD于点E、F、G，得到四棱锥 $P - A E F G$ ；第二步，将剩下的几何体沿平面 $A C F$ 切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG，若 $\frac{P E}{P B} = \frac{3}{5}$ ， $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{2}$ ，请在图中的棱PD上作出点G，并说明作法及理由．

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