江苏省园三2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$ 在复平面内的对应点位于复平面的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. $\sin \frac{π}{12} - \cos \frac{π}{12}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\frac{a^{3} + b^{3} - c^{3}}{a + b - c} = c^{2}$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，D为 $B C$ 边上一点，已知 $B D = 2$ 且 $∠ A D C = 45 °$ ，则 $A C =$ （）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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5. 已知 $f (x) = \sin 2 x ， g (x) = f (x + \frac{π}{6})$ ，直线 $x = t$ 与函数 $y = f (x) ， y = g (x)$ 的交点分别为A ， B ，则线段 $A B$ 长度的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，若 $\vec{A C} = λ \vec{B D} + μ \vec{A E}$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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7. 已知 $\sin (α - \frac{π}{3}) = 2 \sin (α + \frac{π}{6})$ ，则 $\tan (2 α + \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 延长线上一点，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D E}$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 10$ ， $\vec{E B} \cdot \vec{E C} = - 2$ ， $| \vec{B C} | =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，O为坐标原点，已知 $\vec{O A} = (- 1, 4)$ ， $\vec{O B} = (8, - 5)$ ，若P是线段 $A B$ 的三等分点，则点P的坐标是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(3, 0)$ C、 $(4, - 1)$ D、 $(5, - 2)$

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10. $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °, A B = 10$ ，可使得 $∠ C$ 有两个不同取值的 $A C$ 的长度是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11. 设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题中正确的是（）

A、若 $| z_{2} | = | z_{3} |$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ B、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ C、若 ${\bar{z}}_{2} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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12. 已知 $α, β \in (0, π)$ ， $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{5}{13}$ ， $\cos (β - \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{33}{65}$ B、 $- \frac{63}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (- 3, 4)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的一个单位向量的坐标为.

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14. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $(1 + tan α) (1 + tan β) = 2$ ，则 $α + β =$ ．

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15. 设复数z满足 $| z_{1} | = 1 ， | z_{2} | = 2 ， z_{1} + z_{2} = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} | =$ .

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16. 如图，单位圆与x轴正半轴的交点为A ， M ， N在单位圆上且分别在第一､第二象限内， $O M ⊥ O N$ .若四边形 $O A M N$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ ，则 $∠ A O M =$ ；若三角形 $A M N$ 的面积为 $\frac{2}{5}$ ，则 $\sin ∠ A O M =$ .

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (- 2, 4)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，其中 $x \neq 1$ .

(1)、若 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 平行，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，证明：对任意实数 $λ$ ， $λ \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 垂直.

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18. 求下列各式的值：

(1)、 $\sin 40 ° (\tan 10 ° - \sqrt{3})$ ；

(2)、 $\frac{\sin 5 ° - \sin 20 ° \cos 15 °}{\cos 5 ° - \sin 20 ° \sin 15 °}$ .

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19. 如图，设 $O x ， O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 的两条数轴， $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是x轴和y轴正方向的单位向量.若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x ， y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $x O y$ 中的坐标.已知 $\vec{O P}$ 的坐标为 $(4 ， 2)$ .

(1)、求 $| \vec{O P} |$ 的大小；

(2)、若 $\vec{O Q}$ 的坐标为 $(- 3 ， 2)$ ，求 $\vec{O P}$ 与 $\vec{O Q}$ 夹角的大小.

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20. 已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，A是 $l_{1} ， l_{2}$ 之间的一个定点，并且点A到 $l_{1} ， l_{2}$ 的距离分别是 $h_{1} ， h_{2}$ ，B ， C分别是直线 $l_{1} ， l_{2}$ 上的动点(B ， C都在 $D E$ 的右侧).

(1)、如图1，若 $h_{1} = h_{2} = 2$ ，且 $∠ C A B = 90 °$ ，求 $A B + A C$ 的最小值；

(2)、如图2，若 $h_{1} = 1 ， h_{2} = 2$ ，且 $∠ C A B = 60 °$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别是角A ， B ， C的对应边，已知 $a \cos C + \sqrt{2} c = b + c \cos A$ .

(1)、求A；

(2)、若 $\sin (B - A) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $c = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 定义： $μ = \frac{1}{n} [\sin^{2} (θ_{1} - θ_{0}) + \sin^{2} (θ_{2} - θ_{0}) + \dots + \sin^{2} (θ_{n} - θ_{0})]$ 为实数 $θ_{1} ， θ_{2} ， \dots ， θ_{n}$ 对 $θ_{0}$ 的“正弦方差”.

(1)、若 $θ_{1} = \frac{π}{3} ， θ_{2} = \frac{2 π}{3} ， θ_{3} = π$ ，证明：实数 $θ_{1} ， θ_{2} ， θ_{3}$ 对 $θ_{0}$ 的“正弦方差” $μ$ 的值是与 $θ_{0}$ 无关的定值；

(2)、若 $θ_{1} = \frac{π}{4} ， θ_{2} = α ， θ_{3} = β ， α \in (\frac{π}{2} ， π) ， β \in (π ， 2 π)$ ，若实数 $θ_{1} ， θ_{2} ， θ_{3}$ 对 $θ_{0}$ 的“正弦方差” $μ$ 的值是与 $θ_{0}$ 无关的定值，求 $α ， β$ 值.

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