辽宁省部分重点高中2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 7$ ，前三项之和 $S_{3} = 21$ ，则公比 $q$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1 或 \frac{1}{2}$

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2. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}$ ，那么两人中恰有一人通过的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{7}{20}$

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3. 利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得 $K^{2} = 7.236$ ，参照下表：得到的正确结论是（）

P（K²≥k₀）

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

k

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关" D、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

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4. 过原点作曲线 $y = \ln x$ 的切线，则切线的斜率为（）

A、e B、 $\frac{1}{e}$ C、1 D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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5. 设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}, P (\bar{B} ∣ A) = \frac{1}{2}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{1}{4} .$ 则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{7}{24}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{5}{24}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为a，公差为1的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n}} .$ 若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $b_{n} \geq b_{6}$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 6 ， - 5]$ B、 $(- 6 ， - 5)$ C、 $[- 5 ， - 4]$ D、 $(- 5 ， - 4)$

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8. 已知定义在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $(3 - x_{0}^{2}) t^{2} + 2 x_{0} y_{0} t + (x_{0}^{2} - 3) = 0$ 成立，则下列不等式成立的是（）

A、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{6}) < f (\frac{π}{4})$ B、 $f (\frac{π}{3}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ C、 $\sqrt{3} f (\frac{π}{4}) < \sqrt{2} f (\frac{π}{3})$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} f (\frac{π}{3}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{4})$

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二、多选题

9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ， $a_{7} + a_{8} < 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $a_{1} > 0$ ，则公差 $d < 0$ B、若 $a_{1} < 0$ ，则 $S_{7}$ 最小 C、 $S_{15} < 0$ D、 $S_{14} < 0$

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10. 已知由样本数据点集合 ${(x_{i}, y_{i}) ∣ i = 1, 2, \dots, n}$ ，求得的回归直线方程为 $y = 1.5 x + 0.5$ ，且 $\bar{x} = 3$ ，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（）

A、变量x与y具有正相关关系 B、去除后y的估计值增加速度变快 C、去除后l方程为 $y = 1.2 x + 1.4$ D、去除后相应于样本点 $(2, 3.75)$ 的残差平方为0.0025

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11. 已知函数 $f (x)$ 及其导数 $f^{'} (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = e^{- x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N_{+})$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（）

A、 $a_{7} = 13$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2019} = a_{2020}$ C、 $3 a_{n} = a_{n - 2} + a_{n + 2} (n \geq 3)$ D、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2020} = a_{2021}$

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三、填空题

13. 从生物学中我们知道，生男生女的概率基本是相等的，某个家庭中先后生了两个小孩，已知两个小孩中有男孩，则两个小孩中有女孩的概率为.

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14. 将正整数数列1，2，3，4，5，...的各项按照上小下大､左小右大的原则写成如下的三角形数表.

数表中的第8行所有数字的和为.

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15. 多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.若选项中有3个选项符合题目要求，随机作答该题时(至少选择一个选项，最多选三项)，所得的分数为随机变量 $ξ$ ，则 $E (ξ) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq a \\ - 2 x ， x > a \end{array}$ 有最大值，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d = 2$ ，且 $a_{2} + a_{5} = 2$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{m}$ 、 $a_{9}$ 、 $a_{15}$ 成等比数列，求 $m$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = 1$ 时有极值为 $0.$

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、求当 $x \in [0 ， 5]$ 时， $f (x)$ 的最大值和最小值.

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19. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)、求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

(2)、由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，令 $Y = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $Y ~ N (0 ， 1)$ ，且 $P (X \leq a) = P (Y \leq \frac{a - μ}{σ})$ ．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 $P (X \leq 10)$ ；

（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 $Z$ 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求 $P (Z \geq 1)$ （结果精确到0.001）以及 $Z$ 的数学期望．

参考数据： $\sqrt{1.64} \approx 1.28$ ， ${0.7734}^{20} \approx 0.0059$ ．若 $Y ~ N (0 ， 1)$ ，则 $P (Y \leq 0.78) = 0.7734$ ．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{4} = 4, 2 a_{5} + a_{6} = 16$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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21. 上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到 $A$ 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀.

(1)、求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；

(2)、设随机变量 $X$ 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求 $X$ 的分布列及数学期望，并求出 $A$ 校为优秀的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{a}{2} x^{2} - (a - 1) x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、函数 $g (x) = \frac{a}{2} x^{2} - x$ ，若不等式 $f (x) + g (x) \leq 0$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 都成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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P（K²≥k₀）	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
k	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828