江苏省吴江2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $(a ， b)$ ，导函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 内的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内的极大值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x$ 的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2$ B、 $\frac{1}{4} + \ln 2$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$ D、1

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3. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ 的极大值点与极大值分别为a ， b ，则（）

A、 $a < b < a b$ B、 $a < a b < b$ C、 $b < a b < a$ D、 $a b < b < a$

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4. 设函数 $f (x) = \ln (\frac{e + x}{e - x})$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、奇函数，且在 $(0, e)$ 上是增函数 B、奇函数，且在 $(0, e)$ 上是减函数 C、偶函数，且在 $(0, e)$ 上是增函数 D、偶函数，且在 $(0, e)$ 上是减函数

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，其导函数是 $f^{'} (x)$ .有 $f^{'} (x) \cos x + f (x) \sin x < 0$ ，则关于x的不等式 $\sqrt{3} f (x) < 2 f (\frac{π}{6}) \cos x$ 的解集为（）

A、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{6} ， - \frac{π}{3})$ D、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$

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6. 某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲､乙､丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（）

A、24种 B、16种 C、18种 D、20种

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7. 已知 ${(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} (2 + x) + a_{2} {(2 + x)}^{2} + \dots + a_{10} {(2 + x)}^{10}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、-10 B、10 C、-45 D、45

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8. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为 $142857 \times 2 = 285714 ， 142857 \times 3 = 428571 ， 142857 \times 4 = 571428$ ，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现： $142 + 857 = 999 ， 428 + 571 = 999 ， 285 + 714 = 999$ ，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x ，剩下的三个数字构成另一个三位数y ， $x + y = 999$ ，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（）

A、214 B、215 C、248 D、284

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9. 我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（）

A、 $A_{6}^{4} (A_{4}^{2} + A_{4}^{1})$ B、 $C_{6}^{3} A_{4}^{4} + \frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}} A_{4}^{4}$ C、 $C_{6}^{3} A_{4}^{4} + C_{6}^{2} C_{4}^{2} A_{4}^{4}$ D、 $\frac{C_{6}^{3} C_{3}^{1} C_{2}^{1}}{A_{3}^{3}} A_{4}^{4} + \frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{1}}{A_{2}^{2} A_{2}^{2}} A_{4}^{4}$

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二、多选题

10. 函数 $f (x)$ 的定义域为R ，它的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）

A、在 $(1 ， 2)$ 上函数 $f (x)$ 为增函数 B、在 $(3 ， 5)$ 上函数 $f (x)$ 为增函数 C、在 $(1 ， 3)$ 上函数 $f (x)$ 有极大值 D、 $x = 3$ 是函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 5]$ 上的极小值点

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11. 定义在R上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) > f (x)$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $e f (- 2) < f (- 1)$ B、 $f (\ln 2) > 2 f (0)$ C、 $e f (1) > f (2)$ D、 $e f (\frac{1}{2}) < f (\frac{3}{2})$

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12. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（）

A、二项展开式中各项二项式系数之和为 $2^{6}$ B、二项展开式中二项式系数最大的项为 $160 x^{\frac{3}{2}}$ C、二项展开式中无常数项 D、二项展开式中系数最大的项为 $90 x^{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{3}$ 与 $g (x) = x^{3} - a x$ 的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是．

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14. 在 ${(1 + x)}^{m} {(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{8} x^{8} + a_{9} x^{9} (m, n \in N^{*})$ 的展开式中，若 $a_{9} = 32$ ，则 $a_{8} =$ .

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15. 酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm，上口宽6 cm，水以 ${20cm}^{3} /s$ 的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为.

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16. 若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 存在导数，记 $f^{'} (x)$ 的导数为 $f^{″} (x)$ ．如果对 $\forall$ x $\in$ (a，b)，都有 $f^{″} (x) < 0$ ，则 $f (x)$ 有如下性质： $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，其中n $\in N^{*}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n} \in$ (a，b)．若 $f (x) = \sin x$ ，则 $f^{″} (x)$ ＝；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为．

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四、解答题

17. 在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”.
问题：已知二项式 ${(1 + 3 x)}^{n}$ ，若___________(填写条件前的序号)，

(1)、求展开式中系数最大的项；

(2)、求 ${(1 + 3 x)}^{n} {(1 - x)}^{5}$ 中含 $x^{2}$ 项的系数.

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18. 用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)

(1)、能组成多少个无重复数字的四位偶数？

(2)、能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？

(3)、能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？

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19. 已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为512，且 ${(2 x - 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} {(x - 1)}^{n}$

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 的值；

(2)、求 $f (20) - 20$ 被6整除的余数.

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20. 已知 $f (x) = a x + \frac{b}{x} - \ln \frac{x}{c}$ .

(1)、当 $a = 1 ， b = 1 ， c = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、当 $b = - 1 ， c = 1 ， a \in R$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 3) e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 过 $(- 1 ， 0)$ 的切线方程；

(2)、若 $g (x) = f^{'} (x) - x + \ln x$ 在 $[\frac{1}{4} ， 1]$ 上的最大值为 $λ$ ，求证： $- 6 e^{- 3} < f (λ) < - 7 e^{- 4}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{a x}$ (其中e为自然对数的底数).

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x) - \ln x - b x ⩾ 1$ 恒成立，求实数b的取值范围.

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