浙江省绍兴市嵊州市2021届高三下学期数学5月高考适应性考试试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | - 2 < x < 1}, N = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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2. 欧拉公式e^ix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sin x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在区间 $[\begin{array}{l} - π ， & π \end{array}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知直线 $l ， m$ ，平面 $α ， β$ ，则（）

A、若 $l \subset α ， m ∥ l$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $l ∥ α ， l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ∥ α ， α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $m \subset α ， l \subset β ， l ∥ m$ ，则 $α ∥ β$

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5. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、8 C、 $\frac{14}{3}$ D、14

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6. 已知a，b是实数，则“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”是“ $a b + 1 > a + b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设 $0 < a, b, c < 1$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列是

$ξ$

0

1

2

P

a

b

c

若 $E (ξ) = \frac{4}{3}, D (ξ) = \frac{5}{9}$ ，则（）

A、 $a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{6}$ B、 $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}$ C、 $a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{3}$ D、 $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{2}$

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8. 已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，直线 $l$ 经过点 $F$ 且与双曲线相交于 $A, B$ 两点，记该双曲线的离心率为 $e$ ，直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则（）

A、 $8 e^{2} - k^{2} = 1$ B、 $e^{2} - 8 k^{2} = 1$ C、 $9 e^{2} - k^{2} = 1$ D、 $k^{2} - 9 e^{2} = 1$

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9. 已知 $a > 0$ ， $k \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - a x, x ⩽ t \\ k x + k - 1, x > t \end{array}$ ，若对任意的实数 $t \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上至少存在两个零点，则（）

A、 $0 < a < 1$ ，且 $0 < k \leq 1$ B、 $a \geq 1$ ，且 $0 < k \leq 1$ C、 $0 < a < 1$ ，且 $k \geq 1$ D、 $a \geq 1$ ，且 $k \geq 1$

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10. 若公比为 $\frac{1}{2}$ 的无穷等比数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数 $i, j, i \neq j$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k} = a_{i} \cdot a_{j}$ ，则（）

A、 $a_{1}$ 有最大值1 B、 $a_{1}$ 有最大值2 C、 $a_{1}$ 有最小值1 D、 $a_{1}$ 有最小值2

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二、填空题

11. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$ ，则圆心C的坐标为，半径 $r =$ ．

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12. 已知角 $α$ 的终边与单位圆相交于点 $P (x, - \frac{3}{5}) (x > 0)$ ，则 $\sin α =$ ， $\sqrt{1 - \cos 2 α} =$ ．

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13. 设 $M_{I}$ 表示函数 $f (x) = | x^{2} - 4 x + 2 |$ 在闭区间 $I$ 上的最大值．若正实数 $a$ 满足 $M_{[0 ， a]} \geq 2 M_{[a ， 2 a]}$ ，则 $M_{[0 ， a]} =$ ，正实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 ⩽ 0 ， \\ x + y - 1 ⩾ 0 ， \\ y - 3 ⩽ 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值是，最大值是．

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15. ${(x - x \sqrt{x})}^{8}$ 展开式中 $x^{10} \sqrt{x}$ 的系数为．

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16. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，若 $x \cdot (y + 1) = 2$ ，则 $x - \frac{1}{y}$ 的最大值为．

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17. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 ${\vec{c}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{c} + 3 = 0$ ，则对一切实数 $x, | x \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} |$ 的最小值是．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \cos A \cos B = \sin (B + C) \sin B + \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $\cos C$ 的值；

(2)、若 $3 \sin A = 2 \sin B$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ ，求 $c$ 的值．

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19. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A_{1} B = A_{1} D = 2 ， A_{1} A = \sqrt{3}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

（Ⅱ）求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} A D$ 所成角的正弦值．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 2 ， S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1 ， b_{n + 1} = b_{n}^{2} + b_{n}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．
（Ⅰ）证明：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；

（Ⅱ）记 $T_{n} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}$ ，证明： $S_{n} - 2 T_{n} \leq 2$ ．

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (- 1 ， 2)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $M (0 ， t) (t > 0)$ ，分别过点 $A ， B$ 作直线 $y = - t$ 的垂线，垂足分别为 $C ， D$ ，如图．

(1)、若 $O C ⊥ O D$ （ $O$ 为坐标原点），求 $t$ 的值；

(2)、过 $M$ 作直线 $A B$ 的垂线交 $C D$ 于点 $N$ ．记 $△ A C O$ ， $△ B D O ， △ A B N$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ．若 $2 (S_{1} + S_{2}) = 3 S_{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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22. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = \ln x - 2 \sqrt{x} + 2$ ，其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数．

(1)、设 $h (x) = f (x) + x^{2}$ ，若存在 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $h (x_{1}) = h (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < a - 1$ ；

(2)、当 $a = e$ 时，若对 $x \geq 1$ 都有 $f (x) + k g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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$ξ$	0	1	2
P	a	b	c