浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期数学第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1, 0}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x + y \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、5 B、1 C、0 D、-1

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3. 设i为虚数单位，则 $\frac{{(1 + i)}^{3}}{2} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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4. “ $r = 3$ ”是“圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ”相切的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1} \sin (\frac{π x}{2})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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7. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 与双曲线的左支交于点 $B$ ，且 $| A B | = | A F_{2} |$ ，设双曲线的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $3 + 3 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $5 + 3 \sqrt{2}$ D、 $5 + 2 \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，且 $f (2019) = 2019$ ， $f (2020) = 2020$ ， $f (2021) = 2021$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、2028 B、2026 C、2024 D、2022

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9. 如图， $P C ⊥$ 平面 $α$ ，斜线 $P O$ 在平面 $α$ 内的射影 $CO$ ， $A B$ 是平面 $α$ 内过点 $O$ 的直线，若 $∠ P O A$ 是钝角，则（）

A、 $∠ P O B < ∠ P O C$ B、 $∠ P O A < ∠ A O C$ C、 $∠ P O C > ∠ B O C$ D、 $∠ P O C > ∠ P B C$

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10. 已知函数 $f (x)$ 及其导数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) + f (x) = \frac{\sqrt{e^{x}}}{x} (x > 0)$ ， $f (2) = \frac{e}{2}$ ，对满足 $a b = \frac{4}{e}$ 的任意正数 $a$ ， $b$ 都有 $f (2^{x}) < \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{2021} =$ .

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12. 设 $[x]$ 表示不超过实数x的最大整数，则函数 $f (x) = \sin [\cos x] + \cos [\sin x]$ 的最小值为.

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13. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，平面向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - 2 \vec{a} | + | \vec{c} - \sqrt{2} \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{c} | + | \vec{c} - \vec{a} |$ 的最小值为.

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14. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x - 2 y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x - (a + 1) y + 2 = 0$ 平行，则a= ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为.

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15. 若 $(x + 2) {(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{5} =$ .

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16. 已知随机变量X的分布如下表，则 $P (X = 1) =$ ， $E (2 X + 1) =$ .

X

0

1

2

P

a

$2 a - 1$

$\frac{1}{4}$

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\cos A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\sin B = \frac{5}{3} \cos C$ ，则 $\tan C =$ ，若 $c = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象如图所示.

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间.

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19. 已知三棱锥 $P - A B C$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $△ P A C$ 是等边三角形，且 $A B = A C = 2$ ， $B E = E C$ ， $∠ P C B = 90 °$ .

（Ⅰ）求证： $P E ⊥ A C$ ；

（Ⅱ）求直线 $P C$ 与平面 $P A E$ 所成角的正弦.

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20. 设正项数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $\sqrt{4 S_{n} + 1} = a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{\frac{1}{2} T_{n} + b_{n}} (n \in N^{*})$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} > 2 - \frac{2 + n}{2^{n}}$ .

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21. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，长轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，点 $P$ 是椭圆 $C_{1}$ 上的动点，点 $Q$ 是抛物线 $C_{2}$ 准线上的动点.
（Ⅰ）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

（Ⅱ）已知 $O P ⊥ O Q$ （O为坐标原点），且点O到直线 $P Q$ 的距离为常数，求 $p$ 的值.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} (a x^{2} - 2 x + 3)$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x) \geq x + 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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X	0	1	2
P	a	$2 a - 1$	$\frac{1}{4}$