天津市和平区2021届高三下学期第三次质量调查数学试题

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | | x | \leq 2}$ ， $B = {x \in R | x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）.

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 2, 1)$

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2. “直线 $l$ 与平面 $α$ 内无数条直线垂直”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不必要也不充分条件

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3. 某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为： $[4 ， 6)$ ， $[6 ， 8)$ ， $[8 ， 10)$ ， $[10 ， 12)$ ， $[12 ， 14)$ ， $[14 ， 16)$ ， $[16 ， 18)$ .为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（）.

A、4 B、10 C、19 D、40

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4. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 $y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $a = 3^{\frac{1}{5}}$ ， $b = {(\frac{1}{5})}^{3}$ ， $c = \log_{3} \frac{1}{5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）.

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6. 在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 内有一个球 $O$ ，球 $O$ 分别与圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若 $O_{1} O_{2} = 2$ ，则圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的表面积为（）.

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $7 π$

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7. 已知点F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个端点与点F恰好是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）.

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = (a \sin x + \cos x) \cos x - \frac{1}{2}$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，则下列结论中正确的是（）.

A、 $(- \frac{7 π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 是最小正周期为 $π$ 的奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、先将函数 $y = 2 \sin 2 x$ 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后把所得函数图象再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，即可得到函数 $f (x)$ 的图象

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ， $| \vec{A B} | = λ | \vec{A C} |$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、填空题

10. i是虚数单位，复数 $z = (2 + i) (1 - 2 i)$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ .

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11. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是.

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12. 设 $a \in R$ ，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线l与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 a x - 2 \sqrt{3} y = 0$ 相切，则 $a =$ .

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13. 若正实数x，y，z满足 $x + 3 y + 2 z = 1$ ，则 $\frac{x + 2 y}{2 y + 4 z} + \frac{4}{x + 2 y}$ 的最小值是.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， x > 0 \\ | x^{2} + 4 x + 3 | ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = a x (a \in R)$ 使得方程 $f (x) = g (x)$ 恰有3个不同根，则实数a的取值范围为.

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15. 某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 $\frac{1}{2}$ ，两人和棋的概率是 $\frac{1}{6}$ ，则乙战胜甲的概率是；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是.

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三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = 2 c \sin B$ ，且 $b = 3$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ .
（Ⅰ）求 $a$ 的长；

（Ⅱ）求 $\tan C$ 的值；

（Ⅲ）求 $\tan (2 B - C)$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D // B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ．过点 $A$ 做四棱锥 $P - A B C D$ 的截面 $A E F G$ ，分别交 $P D$ ， $P C$ ， $P B$ 于点 $E ， F ， G$ ，已知 $P G ： P B = 2 ： 3$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $A G //$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅱ）求 $A F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $D (0, 1)$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）已知点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (- 4, 0)$ ，过点 $B$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点（ $M$ 在 $N$ 左侧），试讨论 $∠ B A M$ 与 $∠ O A N$ 的大小关系，并说明理由.

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是各项都为整数的等比数列， ${b_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $5 a_{2} = 2 + 2 a_{3}$ ， $a_{2} = b_{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $\prod_{k = 1}^{n} a_{k}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项乘积，即 $\prod_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .
（ⅰ）求 $\prod_{k = 1}^{n} a_{k}$ ；
（ⅱ）若数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\prod_{k = 1}^{n} b_{k} = \frac{c_{n}}{n}$ ，求证： $\frac{c_{n + 1}}{n + 1} - S_{n} = 1$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x - 1}} - x \ln x$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：（ⅰ） $f (x) < 2$ ；
（ⅱ） $n \in N^{*}$ ， $e^{n - 1} < {(2 n - \ln n)}^{n}$ ．

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