2021年高考理数押题密卷B（新课标III卷）

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合 $A = {1, 3, 5}, B = {x ∣ x^{2} - 16 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${3, 5}$ C、 ${1, 3, 5}$ D、 $(0, 4)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (3 + 4 i) = 5 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、5

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3. 已知样本数据为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ ，该样本平均数为 $4$ ，方差为 $2$ ，现加入一个数 $4$ ，得到新样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 4, s^{2} > 2$ B、 $\bar{x} = 4, s^{2} < 2$ C、 $\bar{x} < 4, s^{2} < 2$ D、 $\bar{x} = 4, s^{2} > 2$

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4. 某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强 $I$ （单位： $W / m^{2}$ ）)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 $L$ （单位： $d B$ ）与声强 $I$ 的函数关系式为 $L = 10 \lg (a I)$ ，其中 $a$ 为正实数.已知 $I = 10^{13} W / m^{2}$ 时， $L = 10 d B$ .若整改后的施工噪音的声强为原声强的 $10^{- 2}$ ，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）

A、 $50 d B$ B、 $40 d B$ C、 $30 d B$ D、 $20 d B$

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5. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 $P$ ，满足 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 若非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$ ， $(2 \vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､B､ $C$ 所对的边分别为 $a$ ､b､ $c$ ，若角 $A$ ､C､ $B$ 成等差数列，角 $C$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = \sqrt{3}$ ， $a = 3 b$ ，则 $c$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（）

A、32π B、 $30 \sqrt{2} π$ C、41π D、 $40 \sqrt{3} π$

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ 满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{π}{8})$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知曲线 $y = \ln x$ 在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，两点处的切线分别与曲线 $y = e^{x}$ 相切于 $C (x_{3}, y_{3})$ ， $D (x_{4}, y_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{3} y_{4}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{17}{4}$

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11. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $P (x ， y)$ 为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 $\frac{| P A |}{| P F |}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + 1 - m x^{2}}{x}$ 有两个零点 $a 、 b$ ，且存在唯一的整数 $x_{0} \in (a ， b)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{e}{2})$ B、 $[\frac{\ln 2 e}{4} ， 1)$ C、 $[\frac{\ln 3 e}{9} ， \frac{e}{2})$ D、 $(0 ， \frac{\ln 2 e}{4})$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为．

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14. $(\frac{2}{x} + 1) {(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中的常数项为．

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15. 设圆锥的顶点为 $A$ ， $B C$ 为圆锥底面圆 $O$ 的直径，点 $P$ 为圆 $O$ 上的一点（异于 $B$ 、 $C$ ），若 $B C = 4 \sqrt{3}$ ，三棱锥 $A - P B C$ 的外接球表面积为 $64 π$ ，则圆锥的体积为.

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16. 已知 $a \in R$ ， $x \ln x (a x^{2} - x - a + 1) \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题：共70分。（一）必考题：共60分。

17. 已知 ${a_{n}}$ 数列满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列.

(2)、求数列 ${a_{n} + 2^{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如下表所示：

土地使用面积 $x$ （单位：亩）	1	2	3	4	5
管理时间 $y$ （单位：月）	8	10	14	24	23

并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示；

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	140	60
女性村民	40

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

参考数据： $\bar{y} = 16 ， {\sum (y - \bar{y})}^{2} = 206 ， \sqrt{515} \approx 22.7$

(1)、做出散点图，判断土地使用面积

x

与管理时间

y

是否线性相关；并根据相关系数

r

说明相关关系的强弱．(若

| r | \geq 0.75

，认为两个变量有很强的线性相关性， r值精确到0.001).

(2)、若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

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19. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形EDCF为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $D F //$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其上顶点与左右焦点 $F_{1} 、 F_{2}$ 围成的是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ ( $l$ 的斜率存在)交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，弦 $M N$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，问： $\frac{| M N |}{| P F_{2} |}$ 是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x + a \ln x$ ， $g (x) = e^{- x} - \ln x - 2 x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x_{0}) = 0$ ，求 $x_{0} + \ln x_{0}$ 的值；

(3)、证明： $x - x \ln x \leq e^{- x} + x^{2}$ .

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四、（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \cos α \\ y = \sqrt{2} \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \cos (\frac{3 π}{4} - θ) = 1$

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的倾斜角;

(2)、已知点 $M$ 的直角坐标为 $(0, 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求 $| M A | + | M B |$ 的值.

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五、[选修4-5：不等式选讲]