2021年高考理数押题密卷A（新课标III卷）

试卷更新日期：2021-06-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x | 0 < x < 3}$ ，则图中阴影部分的集合为（）

A、 ${- 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $\frac{1 - i}{z} = 1 + i$ （其中i为虚数单位），则复数 $| z | =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、2

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3. 为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 $h = m \cdot a^{t}$ ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知 $\lg 2 \approx 0.3$ ，结果取整数）（）

A、23天 B、33天 C、43天 D、50天

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5. 过椭圆内定点 $M$ 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点 $M$ 的“好弦”．在椭圆 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 中，过点 $M (4 \sqrt{3}, 0)$ 的所有“好弦”的长度之和为（）

A、120 B、130 C、240 D、260

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6. 已知 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 、 $\vec{O C}$ 均为单位向量，且满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{19}{8}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， C = \frac{π}{6}$ ，则 $A C + \sqrt{3} B C$ 的最大值为（）

A、 $5 \sqrt{7}$ B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9. 已知函数 $f (x) = \cos 2 x + \sin x$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上是单调递减函数 C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{2} ， 0)$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$

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10. 设函数 $f (x) = e^{x} - x$ ，直线 $y = a x + b$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，则a+b的最大值是（）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、1 C、 $e - 1$ D、 $e^{2} - 2$

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11. 坐标原点 $O$ 且斜率为 $k (k < 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点.若点 $A (1 ， \frac{1}{2})$ ，则 $△ M A N$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = 2 x \ln 2 x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ， $t > 0$ ，则 $\frac{\ln t}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{4}{e^{2}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩽ 1 \\ x - y ⩽ 1 \\ x ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最大值是．

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14. $(x^{2} + 2) {(\frac{1}{x^{2}} - 1)}^{5}$ 的展开式的常数项是．

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15. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点均在球 $O$ 的球面上，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $∠ A P B = 60 °$ ，二面角 $P - A B - C$ 大小为120°，当 $△ P A B$ 面积最大时，球 $O$ 的表面积为．

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16. 已知 $y = f (x)$ 是奇函数，定义域为 $[- 1 ， 1]$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = | {(\frac{1}{2})}^{2 x - 1} - x^{α} | - 1$ （ $α > 0 ， α \in Q$ ），当函数 $g (x) = f (x) - t$ 有3个零点时，则实数 $t$ 的取值范围是.

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三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} - a_{n} + 2 a_{n + 1} a_{n} = 0 (n \in N^{*})$

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和，证明 $S_{n} < \frac{1}{4}$

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18. 某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在

450 \sim 950

分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：

将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．

（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，期中 $n = a + b + c + d$ ）

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.005	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求

a

的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现采用分层抽样的方式从分数落在

[550 ， 650)

，

[750 ， 850)

内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量

X

，求

X

的分布列及数学期望；

(3)、若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有97.5％的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？

	属于“高分选手”	不属于“高分选手”	合计
男生
女生
合计

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19. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，面 $A B C D$ 为正方形，面 $A B F E \cap$ 面 $C D E F = E F$ ， $A D ⊥ E D$ ， $C D ⊥ E A$ ．

(1)、求证：CD∥平面ABFE；

(2)、若 $E F = E D$ ， $C D = 2 E F = 2$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $B C F$ 所成的锐二面角的大小．

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .左焦点 $F (- 1, 0)$ ，点 $M (0, 2)$ 在椭圆 $E$ 外部，点 $N$ 为椭圆 $E$ 上一动点，且 $△ N M F$ 的周长最大值为 $2 \sqrt{5} + 4$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $B$ ､ $C$ 为椭圆 $E$ 上关于原点对称的两个点， $A$ 为左顶点，若直线 $A B$ ､ $A C$ 分别与 $y$ 轴交于 $P$ ､ $Q$ 两点，试判断以 $P Q$ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x ， f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、设函数 $g (x) = (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{\sin x + \cos x}{2}) e^{x} - a (\frac{1}{6} x^{3} + \sin x - x) ， a \in R$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性；

(3)、当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) \leq e^{x} + b x - 1$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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四、（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程

(2)、已知点 $P$ 的直角坐标为 $(0, 1)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$

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五、 [选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 8$ 的解集；

(2)、设 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R_{+}$ ，且 $a + b + c = 1$ .证明： $\frac{a^{3}}{b c} + \frac{b^{3}}{a c} + \frac{c^{3}}{a b} \geq 1$ .

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