天津市滨海新区2021届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $N = {x \in R | 2 \leq x \leq 6}$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $(M \cap N)$ Ü $M$ B、 $N$ ⫋ $(M \cap N)$ C、 $M \cup N = N$ D、 $M \cap N = M$

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2. 设 $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a \geq 2$ 且 $b \geq 2$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 8$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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3. 某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（）

A、18 B、36 C、54 D、72

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4. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |} (0 < a < 1)$ 的图像的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点 $A, B, C, D$ 都在球 $O$ 的表面上， $B C ⊥ C D, A C ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $A C = 2 \sqrt{2}, B C = C D = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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6. 已知抛物线 $\frac{1}{20} x^{2} = y$ 的焦点 $F$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一个焦点重合，且点 $F$ 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{41} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{41} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则（）.

A、 $f (- 3) < f (- \log_{3} 13) < f (2^{0.6})$ B、 $f (- 3) < f (2^{0.6}) < f (- \log_{3} 13)$ C、 $f (2^{0.6}) < f (- \log_{3} 13) < f (- 3)$ D、 $f (2^{0.6}) < f (- 3) < f (- \log_{3} 13)$

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8. 已知函数 $f (x) = \cos x \sin 2 x$ ，给出下列命题：
① $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = - f (x)$ 成立；②存在常数 $T \neq 0 ， \forall x \in R$ 恒有 $f (x + T) = f (x)$ 成立；③ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ ；④ $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上是增函数.

以上命题中正确的为（）

A、①②③④ B、②③ C、①②③ D、①②④

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9. 已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{l n 3}{3} ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{l n 3}{9} ， \frac{1}{3 e})$ C、 $(\frac{l n 3}{9} ， \frac{1}{2 e})$ D、 $(\frac{l n 3}{9} ， \frac{l n 3}{3})$

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二、填空题

10. 已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．

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11. （x+1）（x﹣1）⁵展开式中含x²项的系数为．（用数字表示）

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12. 已知直线 $l$ ： $2 x - y - 2 = 0$ ，点 $P$ 是圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l$ 的最大距离为.

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13. 已知 $a, b$ 都为正实数，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a + \frac{b}{a} + \frac{25}{a b}$ 的最小值为．

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14. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，边 $D C$ （包含点 $D$ 、 $C$ ）的动点 $P$ 与 $C B$ 延长线上（包含点 $B$ ）的动点 $Q$ 满足 $| \vec{D P} | = | \vec{B Q} |$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P Q}$ 的取值范围是.

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三、双空题

15. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E（ξ）为．

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四、解答题

16. 在 $Δ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{2} \cos C (a \cos B + b \cos A) + c = 0$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ ．求：
（ⅰ）边长c；

（ⅱ） $\sin (2 B - C)$ 的值．

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17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面 $A D N M ⊥$ 平面ABCD， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A D = 2$ ， $A M = 1$ ，E为AB的中点．

(1)、求证： $A N / /$ 平面MEC．

(2)、求ME与平面MBC所成角的正弦值：

(3)、在线段AM上是否存在点P，使二面角 $P - E C - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，左顶点为 $A (- 4 ， 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $P$ 为 $A D$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意的 $k (k \neq 0)$ 都有 $O P ⊥ E Q$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在说明理由；

(3)、若过 $O$ 点作直线 $l$ 的平行线交椭圆 $C$ 于点 $M$ ，求 $\frac{| A D | + | A E |}{| O M |}$ 的最小值.

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19. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2，数列{a_n}满足a₂=4b₁ ， nb_n+1-（n+1）b_n=n²+n，（n∈N*）.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、证明数列{ $\frac{b_{n}}{n}$ }为等差数列；

(3)、设数列{c_n}的通项公式为：C_n= ${\begin{array}{l} - \frac{a_{n} b_{n}}{2} ， n 为奇数 \\ \frac{a_{n} b_{n}}{4} ， n 为偶数 \end{array}$ ，其前n项和为T_n ，求T_2n.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x ， g (x) = \frac{a}{x^{2}} + b x - 1$ ，(a，b∈R)

(1)、当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；

(2)、当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x₁ ， x₂(x₁<x₂)，求证：x₁+x₂>2.

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