四川省内江市2021届高三理数第三次模拟试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2}{1 - i}$ (i为虚数单位)的共轭复数是（）

A、1+i B、1−i C、−1+i D、−1−i

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $A \cap B = {1}$ ，则集合 $B$ 可以是（）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 3}$ D、 ${1, 2, 3}$

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3. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{c}$ 满足 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{0}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{c} | = 1$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 $m_{e}$ ，众数为 $m_{0}$ ，平均值为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m_{e} =$ $m_{0} =$ $\bar{x}$ B、 $m_{e} =$ $m_{0} <$ $\bar{x}$ C、 $m_{e} <$ $m_{0} <$ $\bar{x}$ D、 $m_{0} <$ $m_{e} <$ $\bar{x}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = \sqrt{7}$ ， $A B = 2$ ，则 $A B$ 边上的高等于（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温 $y (° C)$ 与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度 $y (° C)$ 与时间t（min）近似满足函数的关系式为 $y = 80 {(\frac{1}{2})}^{\frac{t - a}{10}} + b$ （ $a ， b$ 为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为

A、35 min B、30 min C、25 min D、20 min

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7. 已知点A为抛物线 $C ：$ $x^{2} = 4 y$ 上的动点(不含原点)，过点A的切线交 $x$ 轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则 $∠ A B F$ （）

A、一定是直角 B、一定是锐角 C、一定是钝角 D、上述三种情况都可能

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8. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）

A、4 B、8 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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9. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，其中，函数图象与y轴的交点为 $(0 ， - \sqrt{3})$ ，则 $f (2021 π) =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知直线l：y＝m（x﹣2）+2与圆C：x²+y²＝9交于A，B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有（）

A、6条 B、7条 C、8条 D、9条

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11. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)²＋(y－4)²＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2 $\sqrt{5}$ －6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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12. $\forall x \in (0 ， 1)$ ，记 $a = \frac{\sin x}{x}$ ， $b = \frac{\sin x^{2}}{x^{2}}$ ， $c = {(\frac{\sin x}{x})}^{2}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩽ 1 \\ x - y ⩽ 1 \\ x ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最大值是．

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14. 二项式 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是.（用数字作答）

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15. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为．

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16. 数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线 $C$ 就是其中一种，其方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = x^{2} y^{2}$ .给出下列四个结论：

①曲线C有四条对称轴；

②曲线C上的点到原点的最大距离为 $\frac{1}{4}$ ；

③在第一象限内，过曲线C上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 $\frac{1}{8}$ ；

④四叶草面积小于 $\frac{π}{4}$ .

其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，它的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 70$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{7}$ ， $a_{22}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} < \frac{3}{8}$ .

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18. 某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：

月份	1	2	3	4	5	6
销售单价（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
销售量（件）	11	10	8	6	5	14.2

(1)、根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；

(2)、若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

(3)、预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 392 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 502.5 ，$

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D // B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ . $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - P$ 的余弦值；

(3)、设点 $G$ 在 $P B$ 上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ .判断点 $G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 过点 $P (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，设点 $A$ 为第四象限内一点且在椭圆 $C$ 上（点 $A$ 不在直线 $l$ 上），直线 $P A$ 关于 $l$ 的对称直线 $P B$ 与椭圆交于另一点 $B$ .设 $O$ 为坐标原点，判断直线 $A B$ 与直线 $O P$ 的位置关系，并说明理由.

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21. 设函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，记过点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2}))$ 的直线的斜率为 $k$ ，问：是否存在 $a$ ，使得 $k = 2 - a$ ？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} cos (θ + \frac{π}{4}) .$

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若点 $P$ 的直角坐标为 $(1, 0)$ ，试求当 $α = \frac{π}{4}$ 时， $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知 $a > 0, b > 0, 4 a + b = 2 a b$ ．

(1)、求 $a + b$ 的最小值；

(2)、若 $a + b \geq | 2 x - 1 | + | 3 x + 2 |$ 对满足题中条件的 $a, b$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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