四川省凉山州2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | x = 1}$ ， $B = {(x, y) | y = x + 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 ${(1, 2)}$ C、 $[1, + \infty)$ D、 ${1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot i = | - 1 - i |$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- \sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2} i$

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3. 直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(a - 1) x - 2 y + 1 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分也不必要

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4. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $f (0) + f (2) =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 已知三条不重合的直线 $m$ ， $n$ ， $l$ ，三个不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，下列命题中正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} m ⊥ l \\ n ⊥ l \end{array} \Rightarrow m // n$ B、 ${\begin{array}{l} l ⊥ α \\ l ⊥ n \end{array} \Rightarrow n // α$ C、 ${\begin{array}{l} α ⊥ γ \\ β ⊥ γ \end{array} \Rightarrow α // β$ D、 ${\begin{array}{l} m ⊥ α \\ m ⊥ β \end{array} \Rightarrow α // β$

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{1} = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ ， $S_{6} = 36$ ，记数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{10} + T_{21} =$ （）

A、-11 B、-9 C、-13 D、-7

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{1} = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ ， $S_{6} = 36$ ，记数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{10} + T_{21} =$ （）

A、-11 B、-9 C、-13 D、-7

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8. 我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前2021项和为（）

A、 $\frac{4041}{2021}$ B、 $\frac{2021}{1011}$ C、 $\frac{2021}{2022}$ D、 $\frac{2020}{1011}$

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9. 定义运算 $| \begin{array}{l} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{array} | = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ .设 $f (x) = | \begin{array}{l} \sqrt{3} & \cos 2 ω x \\ 1 & \sin 2 ω x \end{array} |$ $(ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的图像与直线 $y = - 2$ 相交，且交点中两点间的最短距离为 $π$ ，则满足 $f (m + x) = f (m - x)$ 的一个 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. 已知 $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $⊙ C$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ $(a > 0)$ 上的动点，直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ ，若 $P$ 到 $l$ 的最小距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知曲线 $C$ ： $2 x^{2} - 2 y^{2} = 1$ ，过它的右焦点 $F$ 作直线交曲线 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，弦 $M N$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，可证明 $\frac{| P F |}{| M N |}$ 是一个定值 $m$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{| x |}{e^{| x |}}$ ，记 $a = f (\log_{3} 2)$ ， $b = f (\log_{5} 3)$ ， $c = f (\ln \frac{1}{e})$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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13. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + a$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(b ， f (b))$ 处与直线 $y = 0$ 相切，则 $a =$ （）

A、1 B、0 C、-1 D、-1或1

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二、填空题

14. 若 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）

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15. 樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行．武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱．某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）中任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，其准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $K$ ，点 $P (x ， y)$ $(y > 0)$ 为 $C$ 上一点，当 $\frac{| P K |}{| P F |}$ 最大时，直线 $K P$ 的斜率为．

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17. 如图， $P$ 为 $△ A B C$ 内任意一点，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .总有优美等式 $S_{△ P B C} \vec{P A} +$ $S_{△ P A C} \vec{P B} + S_{△ P A B} \vec{P C} = \vec{0}$ 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：

①若 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心，则有 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ；

②若 $a \vec{P A} + b \vec{P B} + c \vec{P C} = \vec{0}$ 成立，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的内心；

③若 $\vec{A P} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则 $S_{△ A B P} ： S_{△ A B C} = 2 ： 5$ ；

④若 $P$ 是 $△ A B C$ 的外心， $A = \frac{π}{4}$ ， $\vec{P A} = m \vec{P B} + n \vec{P C}$ ，则 $m + n \in [- \sqrt{2} ， 1)$ .

则正确的命题有.

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三、解答题

18. 在钝角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin C - \sin (A - B) = 4 \sin 2 A$ ．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值．

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y表示2020年第x月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：

$x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7	8
$y_{i}$	14	12	20	20	22	24	30	26

(1)、求出y关于x的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

，并预测该店9月份的成交量；（

\hat{a}

，

\hat{b}

精确到整数）

(2)、该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为

\frac{1}{3}

，没有获得奖金的概率为

\frac{1}{6}

．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额

X

（千元）的分布列及数学期望．

参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 850$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 204$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．

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20. 如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 在 $\overset{⌢}{A C}$ 上， $O D // B C$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、若直线 $P A$ 与底面所成角的大小为 $\frac{π}{4}$ ， $E$ 是 $P D$ 上一点，且 $O E ⊥ P D$ ，求二面角 $E - A C - B$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且 $P (2 ， 1)$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、 $A$ ， $B$ 是椭圆上异于 $P$ 的两点，设直线 $P A$ ， $P B$ 斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，点 $Q (8 ， 3)$ 到直线 $A B$ 的距离为 $d$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，求以 $d$ 的最大值为直径的圆的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x + a$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， a)$ 处的切线 $l$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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23. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} t, \\ y = \sqrt{1 - t^{2}} \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、在极坐标系中，射线 $θ = \frac{π}{6}$ $(ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 交于点 $A$ ，射线 $θ = \frac{π}{3}$ $(ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{2}$ 交于点 $B$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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24. 函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x - 2 | + 1$

(1)、若方程 $f (x) = m$ 无实根，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $n$ .若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $5 a + 5 b = 2 n$ ，证明： $a + 4 b - 9 a b \geq 0$ .

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