四川省广元市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 1 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(0, 1)$

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2. 设i是虚数单位，则复数 $(2 + i) (1 - i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $p : x (x - 1) = 0$ ， $q : x = 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足向量 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{2}$ ，下列结论中一定成立的是（）

A、 $\vec{a}$ = $\vec{b}$ B、 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ C、| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ | D、 $\vec{a}$ // $\vec{b}$

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5. 执行如图的程序，若输入 $n = 3$ ， $x = 3$ ，则输出 $y$ 的值为（）

A、4 B、13 C、40 D、121

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6. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{x}{4 - x}$ ，则（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, 4)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减，在 $(2, 4)$ 上单调递增

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7. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$

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8. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 前10项的和为（）

A、 $\frac{9}{11}$ B、 $\frac{10}{11}$ C、 $\frac{20}{11}$ D、 $\frac{21}{11}$

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9. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是（）

A、60 B、80 C、84 D、120

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10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 2$ ，若将军从点 $A (3 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 4$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为．

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{17} - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $3 - \sqrt{2}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 3) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} < \frac{1}{9} x$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 3) \cup (0 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 0) \cup (0 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (3 ， + \infty)$

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12. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F_{2} T$ 交双曲线 $E$ 的左支于点 $P$ ．若 $| P F_{2} | > 2 | T F_{2} |$ ，则双曲线 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(2 ， \sqrt{6})$ B、 $(\sqrt{5} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{5})$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 15$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ ．

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14. 某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为．

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15. 有4名男生、3名女生排队照相，7个人排成一排．①如果4名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法；②如果3名女生按确定的某种顺序，那么有840种不同的排法；③如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法；④如果3名女生中任何两名不能排在一起，那么有1440种不同排法；则以上说法正确的有．

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16. 用 $T (n)$ 表示正整数 $n$ 所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则 $T (9) = 9$ ，10的因数有1，2，5，10，则 $T (10) = 5$ ．计算 $T (1) + T (2) + T (3) + \dots + T (2^{2021} - 1) =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin (A + C) = 8 \sin^{2} \frac{B}{2}$ ．

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求 $b$ ．

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18. 广元某中学调查了该校某班全部40名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加棋艺社团

未参加棋艺社团

参加武术社团

8

10

未参加武术社团

7

15

(1)、能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？

(2)、已知既参加棋艺社团又参加武术社团的8名同学中，有3名男同学，5名女同学．现从这3名男同学，5名女同学中随机选5人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数X的分布列和期望．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k₀）

0.10

0.05

0.025

k₀

2.706

3.841

5.024

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19. 如图，在三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A D ⊥ C_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A D C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成二面角的正弦值.

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ．

(1)、若点 $C (p ， 1)$ 到抛物线准线的距离是它到焦点距离的 $\sqrt{3}$ 倍，求抛物线的方程；

(2)、点 $C (p ， 1)$ ，若线段 $C F$ 的中垂线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，求三角形 $A B F$ 面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \ln 2 (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $g (x) = f (x) + \ln 2 - \cos x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的零点个数．

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22. 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin $(θ - \frac{π}{4})$ ＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)、当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m | - | x + 2 |$ （ $m \in R$ ），不等式 $f (x - 2) \geq 0$ 的解集为 $(- \infty ， 4]$ .

(1)、求m的值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 3$ ，且 $a + 2 b + c = 2 m$ ，求 $(a + 1) (b + 1) (c - 3)$ 的最大值.

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	参加棋艺社团	未参加棋艺社团
参加武术社团	8	10
未参加武术社团	7	15

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025
k₀	2.706	3.841	5.024