山西省阳泉市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 2}, B = {a, 0, 3}$ ，且 $A \cup B$ 有16个子集，则实数a可以是（）

A、-1 B、0 C、2 D、3

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z = \sin \frac{7 π}{6} - i c o s \frac{7 π}{6}$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 为考察A､B两名运动员的训练情况，下面是A､B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）

A、第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分 B、第2天至第7天B运动员的得分逐日提高 C、第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量 D、A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差

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4. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ ，圆 $M : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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5. 在平面直角坐标系中，将不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \leq 0 \\ x + 2 y \geq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ 表示的平面区域绕 $y$ 轴旋转一周所形成的几何体的体积是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{7 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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6. 函数 $f (x) = \ln | x | + | \sin x |$ （ $- π \leq x \leq π ，$ 且 $x \neq 0$ ）的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. 为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲､乙､丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若 $p \lor q$ 是真命题， $(\neg q) \lor r$ 是真命题，则得第一名的是.

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8. 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A F | = p + 2$ ， $| B F | = p - 1$ ，则 $p =$ ．

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9. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为 $60 \sqrt{3}$ 米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为米.

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三、解答题

10. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n} ， 2 a_{1} = b_{1} = 2 ， a_{2} + a_{8} = 10$ ，___________.在① $\frac{1}{2} S_{n} = b_{n} - 1$ ，② $b_{n} = 2^{λ a_{n}}$ 这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11. 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中 $\frac{1}{9} < a < \frac{1}{8}$ ．

综合得分 $k$ 的范围	减排器等级	减排器利润率
$k \geq 85$	一级品	$a$
$75 \leq k < 85$	二级品	$5 a^{2}$
$\begin{matrix} 70 \leq k < 75 \end{matrix}$	三级品	$a^{2}$

(1)、若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；

(2)、将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

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12. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ ， $∠ B C C_{1} = \frac{π}{3}$ ， $B C = 2$ ， $C C_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、若E为棱 $C C_{1}$ 的中点，且 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求二面角 $A - B_{1} E - A_{1}$ 的大小．

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13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，当 $P$ 是椭圆 $C$ 的上顶点时， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程

(2)、设斜率存在的直线 $P F_{2}$ ，与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $Q$ .若存在 $T (t ， 0)$ ，使得 $| T P | = | T Q |$ ，求 $t$ 的取值范围

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14. 设函数 $F (x) = 2 x - e^{x - 2}$ .

(1)、若 $F (x)$ 的图象的一条切线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为1，求切线 $l$ 的方程；

(2)、求函数 $f (x) = {(\ln x)}^{2} + F (x)$ 的极值点个数.

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15. 已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 1$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 的正半轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ .

(1)、若曲线 $C_{2} : {\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \end{matrix} (t$ 为参数）与曲线 $C_{1}$ 相交于两点 $A, B$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、若 $M$ 是曲线 $C_{1}$ 上的动点，且点 $M$ 的直角坐标为 $(x, y)$ ，求 $(x + 1) (y + 1)$ 的最大值.

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16. 设函数 $f (x) = | x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (2 x) + f (x + 1)$ 的最小值 $m$ ；

(2)、在（1）的件下，证明 $f (\cos^{2} α) - f (\sin^{2} α + \frac{1}{2}) \leq m$ ．

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