山西省吕梁市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \lg (x + 2) < 0}$ ，集合 $B = {x | \frac{1}{2^{x}} \geq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0]$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 1, 0]$ D、 $(- 1, 0)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $| z - i | = 1$ ， $z \cdot i = x + i (x \in R)$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, - 1)$ C、 $(1, i)$ D、 $(1, - i)$

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3. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）

A、 $\frac{10}{21}$ B、 $\frac{11}{21}$ C、 $\frac{11}{42}$ D、 $\frac{5}{21}$

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4. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ， $\vec{c} = (3, - 4)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的正切值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 已知点 $P$ 为直线 $l$ ： $y = x + 1$ 上一点，点 $Q$ 为圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

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6. 设 $\sin 20 ° = m$ ， $\cos 20 ° = n$ ，化简 $\frac{\tan 10 ° + 1}{1 - \tan 10 °} - \frac{1}{1 - 2 \sin^{2} 10 °} =$ （）

A、 $\frac{m}{n}$ B、 $- \frac{m}{n}$ C、 $\frac{n}{m}$ D、 $- \frac{n}{m}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x)$ 的图象过点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ ，相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = - \cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 3 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 4 \cos (x - \frac{π}{6})$

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8. ${(x + y)}^{2} {(x - 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为（）

A、88 B、104 C、 $- 40$ D、 $- 24$

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9. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \geq 0 \\ \frac{x}{e^{x}} ， x < 0 \end{array}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $A_{1} B$ 且与 $A C_{1}$ 平行的平面交 $B_{1} C_{1}$ 于点 $P$ ，则 $P C_{1} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (2, 0)$ ，过点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $△ O A B$ 的重心为点 $G$ ，则点 $G$ 到直线 $3 x - 3 y + 1 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且 $x \in [1 ， e^{2}]$ 时， $f (x) = \ln x$ ，若 $x \in [2 - e^{2} ， e^{2}]$ 时，方程 $f (x) = k (x - 2)$ 有三个不同的根，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2}{e^{2}} ， \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \frac{1}{e} ， - \frac{2}{e^{2}}]$ D、 $(- \frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \geq 3 \\ x - y \leq 0 \\ x + y \leq 4 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y + 5$ 的最小值为.

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14. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ， $M (1, 8)$ ，过点 $M$ 的直线交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为 $A B$ 的中点，且直线 $A B$ 与 $E$ 的一条渐近线垂直，则 $E$ 的离心率为.

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15. 已知锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 6 \cos A$ ， $A C = 2 A B - 2$ ， $\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}$ ，延长 $A B$ 到点 $D$ ，使 $\sin ∠ B C D = \frac{\sqrt{39}}{26}$ ，则 $S_{△ B C D} =$ .

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16. 如图所示的三棱锥 $P - A B C$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，若 $P A = a$ ， $A B = c$ ， $P B = 10$ ， $B C = 2 \sqrt{7}$ ，当 $a c$ 取最大值时，点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为.

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三、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{2} + 10$ 成等差数列， $S_{3} - a_{2} = 10$ .
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 与 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \log_{2} (S_{n} + 2) \cdot a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A B$ 为等腰三角形， $P B = 2 \sqrt{2}$ ， $\vec{P E} = 2 \vec{E C}$ .

（Ⅰ）求证： $P C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

（Ⅱ）求二面角 $A - B E - P$ 的平面角的余弦值.

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19. 核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a元，记检测的总费用为 $X$ 元.

(1)、当 $n = 3$ 时，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、（ⅰ）比较 $n = 3$ 与 $n = 4$ 两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时， $n = 5$ 和 $n = 10$ 两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）.

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一点 $A$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上方， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左，右焦点，当△ $A F_{1} F_{2}$ 的面积取最大值 $\sqrt{3}$ 时， $\sin ∠ A F_{1} F_{2} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，设 $P Q$ 中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点， $| \vec{P Q} | = 2 | \vec{O M} |$ ，作 $O N ⊥ P Q$ ，求证： $| O N |$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} (2 a - 2) x^{2} + 4 a x - 4 a x \ln x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f^{'} (x)$ 的极值；

(2)、判断函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2} a^{2} + 3 a - 8 \ln a)$ 上的单调性.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ ： ${\begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 1 + t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $4 ρ^{2} = 12 + ρ^{2} \cos^{2} θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A$ ， $B$ ， $P$ 为曲线 $C$ 上的动点，若 $△ P A B$ 的面积最大值为 $S$ ，求 $S$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = 3 | x - 2 | + | x - m | (x \in R)$ ，不等式 $f (x) < 3$ 的解集为 $(1, n)$ .

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a + b + c = m$ .证明： ${(b + c)}^{2} + {(a + 2 b + c)}^{2} + {(a + b + 2 c)}^{2} \geq \frac{4 m}{3}$ .

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