山东省济宁市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \geq 2}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - 1) < 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, 3)$

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2. 已知 $(2 - i) \cdot z = i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. “直线 $m$ 垂直平面 $α$ 内的无数条直线”是“ $m ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必安条件

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4. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.2$ ，则 $P (X < 2) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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5. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过点 $P (1, \frac{1}{2})$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $P$ 为 $A B$ 的中点，则直线AB的方程为（）

A、 $3 x - 2 y - 2 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 4 = 0$ C、 $3 x + 4 y - 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 1 = 0$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点，已知点 $M (\sqrt{3} ， - 1)$ 和点 $N (0 ， 1)$ ．若点 $P$ 在 $∠ M O N$ 的角平分线上，且 $| \vec{O P} | = 4$ ，则 $\vec{O P} \cdot \vec{M N} =$ （）

A、-2 B、-6 C、2 D、6

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 1 + 2 \ln x ， x > 1 \\ 1 - 2 \ln x ， 0 < x \leq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + b$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{e}$ B、 $e$ C、 $1 + e$ D、 $2 e$

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8. “曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 的曼哈顿距离为： $L_{P Q} = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ．若点 $P (1 ， 2)$ ，点 $Q$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上一动点，则 $L_{P Q}$ 的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ， $c \in R$ ，下列不等式恒成立的有（）

A、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\log_{2} \frac{1}{a} > \log_{2} \frac{1}{b}$ D、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} < \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

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10. 函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6}) + 1 (x \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 3$ ，则 $x_{1} - x_{2} = k π (k \in Z)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上为增函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 1)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可以由 $g (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1 (x \in R)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f (1 - x) = - f (1 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2} + x - 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是以 $4$ 为周期的周期函数 B、 $f (2018) + f (2021) = - 2$ C、函数 $y = \log_{2} (x + 1)$ 的图象与函数 $f (x)$ 的图象有且仅有3个交点 D、当 $x \in [3 ， 4]$ 时， $f (x) = x^{2} - 9 x + 18$

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12. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = A A_{1} = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点（不包括端点），点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）

A、四面体 $P B C Q$ 的体积是定值 B、 $\vec{A D} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是 $(0 ， 4)$ C、若 $C_{1} Q$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ > \frac{1}{2}$ D、若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S \in [4 π ， 13 π)$

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三、填空题

13. 已知 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中 $x^{3}$ 项的系数是．

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14. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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15. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 分别与双曲线的左、右支交于点 $A$ 、 $B$ ，若以 $A B$ 为直径的圆过点 $F_{2}$ ，且 $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ ，则该双曲线的离心率为．

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16. 设函数 $f (x) = e^{x} - \cos x - 2 a$ ， $g (x) = x$ ，若存在 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [0 ， π]$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值为1时，实数 $a =$ ．

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四、解答题

17. 在① ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C$ ；② $2 a \sin C = c \tan A$ ；③ $2 \cos^{2} \frac{B + C}{2} = \cos 2 A + 1$ ；
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = \sqrt{2}$ ，______．

(1)、求A的值；

(2)、若 $\sin B = \sqrt{2} \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是正项等比数列，满足 $a_{3}$ 是 $2 a_{1}$ 、 $3 a_{2}$ 的等差中项， $a_{4} = 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \log_{2} a_{2 n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛相互独立．

(1)、求甲获胜的概率；

(2)、设比赛结束时甲和乙共进行了 $X$ 局比赛，求随机变景 $X$ 的分布列及数学期望．

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20. 如图，四边形 $A B E F$ 是矩形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $∠ C A B = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $A F = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明：平面 $A D F ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求二面角 $F - A D - E$ 的余弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过点 $T (0 ， p)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 交抛物线 $C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，当点 $A$ 的横坐标为1时，抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，线段 $E F$ 的中点为 $N$ ，求 $△ O M N$ 面积的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} + x$ ， $g (x) = (1 - a) x \ln x - e^{x - 1}$ ， $a > 0$ ．

(1)、当 $a = \frac{e}{2}$ 时，判断函数 $f (x)$ 在定义域内的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq g (x) + x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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