山东省济南市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 项的系数为（）

A、4 B、6 C、10 D、15

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3. $△ A B C$ 中，“ $\sin A = \frac{1}{2}$ ”是“ $A = \frac{π}{6}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表．

	男	女	合计
关注冰雪运动	35	25	60
不关注冰雪运动	15	25	40
合计	50	50	100

根据列联表可知（）

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

附表：

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

A、该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动 B、该市男性届民中大约有95%的人关注冰雪运动 C、有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关 D、有99%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关

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5. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、最小正周期为 $π$ B、最小值为-1 C、图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 中心对称 D、图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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6. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）．若直线AB的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点A的纵坐标为 $\frac{3}{2}$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时天文学家处理“大数运算”提供了巨大的便利．已知正整数N的31次方是一个35位数，则由下面的对数表，可得N的值为（）

M	2	3	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16	17
lgM	0.30	0.48	0.78	0.85	0.90	0.95	1.04	1.08	1.11	1.15	1.18	1.20	1.23

A、12 B、13 C、14 D、15

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8. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，平面 $α$ 与棱AB、CD均平行，则 $α$ 截此正四面体所得截面面积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、多选题

9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A、 $A \cap (B \cup C)$ B、 $A \cup (B \cap C)$ C、 $A \cap ∁_{U} (B \cap C)$ D、 $(A \cap B) \cup (A \cap C)$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为减函数 C、 $f (x)$ 有且只有一个零点 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1)$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} = 2^{n}$ ， $n \in N_{+}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{4} = 4$ B、 ${a_{2 n}}$ 是等比数列 C、 $a_{2 n} - a_{2 n - 1} = 2^{n - 1}$ D、 $a_{2 n - 1} + a_{2 n} = 2^{n + 1}$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 且倾斜角为 $θ$ 的直线与双曲线的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，记 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $O_{1}$ 的半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $O_{2}$ 的半径为 $r_{2}$ ，圆 $O_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，则（）

A、 $θ$ 的取值范围是 $(\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6})$ B、直线 $O_{1} O_{2}$ 与 $x$ 轴垂直 C、若 $r_{1} + r_{2} = 2$ ，则 $| A B | = 6$ D、 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围是 $[2 π ， \frac{10 π}{3})$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为．

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14. 习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．”某党小组为响应习总书记号召，重温百年奋斗的恢弘史诗，以信仰之光照亮前行之路，组织开展党史学习教育知识竞赛活动，其中7名党员在这次活动中的成绩统计如图所示．则这7个成绩的中位数所对应的党员是．

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15. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a - e \ln (e x + a)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 恰好满足下列四个条件中的三个：① $\cos A = \frac{1}{2}$ ；② $\cos B = - \frac{1}{2}$ ；③ $a = \sqrt{3}$ ；④ $b = 1$ ．

(1)、请指出这三个条件（不必说明理由）；

(2)、求边 $c$ ．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} = 4$ ， $S_{5} = 30$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2}{a_{n}^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图1，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点， $A B = B C = C E$ ，将 $△ A D E$ ， $△ B C E$ 分别沿 $A E$ ， $B E$ 折起，使平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B E$ ，平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B E$ ，得到图2．

(1)、证明： $A B // C D$ ；

(2)、记平面 $A D E$ 与平面 $B C E$ 的交线为 $l$ ，求二面角 $D - l - C$ 的大小．

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20. 已知函数 $f_{n} (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} (n \in N_{+})$ ．

(1)、证明： $f_{3} (x)$ 单调递增且有唯一零点；

(2)、已知 $f_{2 n - 1} (x)$ 单调递增且有唯一零点，判断 $f_{2 n} (x)$ 的零点个数．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $H (2 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (- 3 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于A， $B$ 两点，直线 $H A$ ， $H B$ 分别交 $x$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点，点 $G (- 2 ， 0)$ ，若 $\vec{P M} = λ \vec{P G}$ ， $\vec{P N} = μ \vec{P G}$ ，求证： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值．

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22. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 $2 k - 1 (k \in N_{+})$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 $k$ 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $p_{k}$ （例如： $p_{2}$ 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； $p_{3}$ 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．

(1)、若每个元件正常工作的概率 $p = \frac{2}{3}$ ．
（i）当 $k = 2$ 时，求控制系统中正常工作的元件个数 $X$ 的分布列和期望；

（ii）计算 $p_{3}$ ．

(2)、已知设备升级前，单位时间的产量为 $a$ 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 $\frac{1}{4}$ ，每件高端产品的利润是2元．请用 $p_{k}$ 表示出设备升级后单位时间内的利润 $y$ （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

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