内蒙古包头市2021届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 5 < x < 16}$ ， $B = {3, 4, 6, 7, 9, 12, 13, 16}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 复数 $\frac{1}{1 + 5 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{5}{26}$ B、 $\frac{5}{26}$ C、 $\frac{1}{26}$ D、 $- \frac{1}{26}$

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3. 已知 $s$ ， $r$ 都是 $q$ 的充分条件， $p$ 是 $q$ 的必要条件， $r$ 是 $p$ 的必要条件，则（）

A、 $s$ 是 $r$ 的既不充分也不必要条件 B、 $s$ 是 $p$ 的必要条件 C、 $q$ 是 $r$ 的必要不充分条件 D、 $p$ 是 $r$ 的充要条件

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4. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级 $M$ 与所释放的能量 $E$ 的关系如下： $E = 10^{4.8 + 1.5 M}$ （焦耳）（取 $\sqrt{10} \approx 3.16$ ），那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的（）

A、30.6倍 B、31.6倍 C、3.16倍 D、3.06倍

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5. 已知 $\cos α + \cos (α - \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的点到直线 $l$ ： $y = \sqrt{3} x + 4$ 的最大距离为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点，直线 $y = \frac{b}{3}$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M F N = 90 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $C = 60 °$ ， $A B = 4$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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9. 已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $S$ 是平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{S A} \cdot (\vec{S B} + \vec{S C})$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、6 D、 $- 6$

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10. 已知 $a = {0.8}^{0.9}$ ， $b = {0.9}^{0.8}$ ， $d = \log_{0.9} 0.8$ ，则（）

A、 $b < a < d$ B、 $a < d < b$ C、 $a < b < d$ D、 $b < d < a$

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11. 在三棱锥 $S - A B C$ 中，若 $S B = S C = A B = A C = B C = 4$ ， $S A = 2 \sqrt{3}$ ， $S A ⊥ B C$ ，设异面直线 $S C$ 与 $A B$ 所成角为 $α$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $ω = 2$ ，则 $f (x)$ 的图象关于原点中心对称 B、若 $ω = 2$ ，则把 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度可得到 $f (x)$ 的图象 C、若 $f (x)$ 在 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 分别取得极大值和极小值，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$ ，则 $ω = 1$ D、若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且只有3个零点

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二、填空题

13. 实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 4 \leq 0 ， \\ x \geq 1 ， \\ - 1 \leq y \leq 1 ， \end{array}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最小值为．

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14. 设函数 $f (x) = \frac{x - a}{e^{x}}$ ，若 $f^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}}$ ，则 $a =$ ．

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15. 设直线 $l$ ： $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ （ $a > 0$ ）的两条渐近线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点，若线段 $P Q$ 的中点在直线 $x = 2$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 $64 π$ ，且用料最省，则该圆柱形水桶的高为．

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三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2 (n - 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 $(485 ， 495]$ ， $(495 ， 505]$ ，…， $(525 ， 535]$ ．由此得到样本的频率分布直方图如下图．

(1)、估计这条生产流水线上，质量超过515克的产品的比例；

(2)、求这条生产流水线上产品质量的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ 的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为 $B B_{1}$ ， $A C$ 的中点． $E$ 为线段 $A B$ 延长线上一点，且 $A B = B E$ ， $A_{1} A = A_{1} B_{1} = 4$ ．

(1)、证明： $B Q //$ 平面 $A_{1} P C$ ；

(2)、证明：点 $E$ 在平面 $A_{1} P C$ 内；

(3)、求三棱锥 $A - A_{1} P C$ 的体积．

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20. 已知点 $M$ 是抛物线 $C_{1}$ ： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的准线上的任意一点，过点 $M$ 作 $C_{1}$ 的两条切线 $M P$ ， $M Q$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 为切点．

(1)、证明：直线 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标；

(2)、若直线 $P Q$ 交椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求 $\frac{| P Q |}{| A B |}$ 的最小值．

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21. 设函数 $f (x) = e^{x} \cos x + a x$ ， $x \in [0 ， 2 π]$ ，（ $a$ 为参数）．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间，并证明 $f (x)$ 有且只有两个零点；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2 π)$ 上有两个极值点．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{4 t}{1 + t^{2}} ， \\ y = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点O为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{3} ρ \cos θ + 2 ρ \sin θ - 2 = 0$ ．

(1)、求C的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)、求C上的点到直线l距离的最大值．

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23. 已知 $x$ 、 $y$ 、 $z \in R$ ，且 $x + y + z = 3$ ．

(1)、求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值；

(2)、证明： $(x - 1) (y - 1) + (y - 1) (z - 1) + (x - 1) (z - 1) \leq 0$ ．

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