辽宁省丹东市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $U = {- 1, 0, 1}$ ， $A = {1, 0}$ ， $B = {- 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${0}$ C、 ${1}$ D、∅

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2. 已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，若 $\vec{A C} = 2 \vec{B C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、-10 B、-5 C、5 D、10

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3. 在 ${(x - 1)}^{n}$ 的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 费马数列 ${F_{n}}$ 是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat ， 1601~1665年）命名的数列，其中 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ ，例如 $F_{1} = 2^{2^{1}} + 1 = 2^{2} + 1 = 5$ ．因为 $\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{17}{5} = 3.4$ ，所以 $\frac{F_{2}}{F_{1}}$ 的整数部分是1位数；因为 $\frac{F_{3}}{F_{2}} = \frac{257}{17} \approx 15.12$ ，所以 $\frac{F_{3}}{F_{2}}$ 的整数部分是2位数；…；则 $\frac{F_{13}}{F_{12}}$ 的整数部分位数最接近于（ $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、240 B、600 C、900 D、1200

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5. 若 $f (x)$ 为奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = a + 2 \cos x$ ，则 $f (\frac{4 π}{3}) =$ （）

A、-3 B、1 C、3 D、 $2 + \sqrt{3}$

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6. 在复平面内， $O$ 为坐标原点，复数 $z$ ， $z + 1$ 对应的点都在单位圆 $O$ 上，则 $z$ 的实部为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 球 $O$ 的两个相互垂直的截面圆 $O_{1}$ 与 $O_{2}$ 的公共弦 $A B$ 的长度为2，若 $△ O_{1} A B$ 是直角三角形， $△ O_{2} A B$ 是等边三角形，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $9π$ B、 $12π$ C、 $16π$ D、 $20π$

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8. 在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为 $22 ° 3 0^{'}$ ，又在此尖塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为 $67 ° 3 0^{'}$ ，且A，B两点距离为540m，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为（）

A、90 m B、100 m C、110 m D、270 m

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二、多选题

9. 晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息．有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ，

P（K²≥k₀）

0.050

0.010

0.005

0.001

k₀

3.841

6.635

7.879

10.828

A、衡水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高 B、另一所同类高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高 C、有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关” D、认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错概率超过0.05

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = a \cdot 2^{n + 1} + b n + c$ （ $a, b, c$ 为常数），则下列命题中正确的是（）

A、若 $a \neq 0$ ，则 ${a_{n}}$ 不是等差数列 B、若 $a = 0$ ， $b \neq 0$ ， $c = 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、若 $a = 0$ ， $b \neq 0$ ， $c = 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $a = 1$ ， $b = 0$ ， $c = - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{7}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $| P F_{2} | = 6$ ，则（）

A、 $b = 7$ B、 $| P F_{1} | = 10$ C、 $| O P | = \sqrt{19}$ D、 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$

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12. 已知 $E$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A A_{1}$ 的中点，平面 $α$ 过点 $B$ 且与 $C E$ 垂直，且 $α$ 与直线 $B_{1} C_{1}$ 相交于点 $M$ ，则（）

A、直线 $B_{1} D_{1}$ 与直线 $C E$ 垂直 B、 $M$ 是线段 $B_{1} C_{1}$ 的三等分点 C、直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ D、平面 $α$ 将正方体分割成体积比为 $7 ： 17$ 的两部分

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三、填空题

13. 设A是抛物线C： $y^{2} = 12 x$ 上一点，若A到C的焦点的距离为10，则A到y轴的距离为．

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14. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，那么当 $a =$ 时，满足条件“ $b = 2$ ， $A = 30 °$ ”的 $△ A B C$ 有两个．（仅写出一个 $a$ 的具体数值即可）

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15. 一个袋子里装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任取2个球，其中含有白球个数为 $X$ ，则 $X$ 的方差 $D (X) =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 3 a x + 4 a^{3}$ ，已知 $f (x)$ 的极大值与极小值之和为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的值域为．

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四、解答题

17. 中药藿香产业化种植已经成为某贫困山区农民脱贫攻坚的重要产业之一，藿香在环境温度为15~28℃时生长旺盛，环境温度高于28℃或低于15℃时生长缓慢或停止．藿香的株高 $y$ （单位：cm）与生长期内环境温度 $15 + x$ （单位：℃）中的 $x$ 有关，现收集了13组藿香生长期内环境温度中的 $x_{i}$ 和株高 $y_{i}$ （ $i = 1$ ，2，…，13）观测数据，得到如图所示的 $(x_{i} ， y_{i})$ 散点图．

根据散点图判断，可以利用模型 $y = a + b \sqrt{x}$ 或 $y = c + \frac{d}{x}$ 建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，令 $s = \sqrt{x}$ ， $t = \frac{1}{x}$ ，统计处理得到一些数据： $(s_{i} ， y_{i})$ 的线性相关系数 $r_{1} = 0.8858$ ， $(t_{i} ， y_{i})$ 的线性相关系数 $r_{2} = - 0.9953$ ． $\bar{x} = 10.15$ ， $\bar{y} = 109.94$ ， $\bar{s} = 3.04$ ， $\bar{t} = 0.16$ ， $\sum_{i = 1}^{13} s_{i} y_{i} - 13 \bar{s} \bar{y} = 13.94$ ， $\sum_{i = 1}^{13} t_{i} y_{i} - 13 \bar{t} \bar{y} = - 2.10$ ， $\sum_{i = 1}^{13} s_{i}^{2} - 13 {\bar{s}}^{2} = 11.67$ ， $\sum_{i = 1}^{13} t_{i}^{2} - 13 {\bar{t}}^{2} = 0.21$ ， $\sum_{i = 1}^{13} y_{i}^{2} - 13 {\bar{y}}^{2} = 21.22$ ．用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，并求这种模型的回归方程，由此预测这种中药藿香在生长期内的环境温度为20℃时的株高（株高精确到1）．

附：对于一组数据 $(u_{i} ， v_{i})$ （ $i = 1$ ，2，3，…， $n$ ），其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $2 a_{3} - a_{4} = 2$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{2}{a_{k} a_{k + 2}} < \frac{3}{2} - \frac{4}{2 n + 3}$ ．

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19. 如图，在空间几何体 $A B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ， $D E ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A B C$ 与 $△ A D C$ 都是以 $A C$ 为底的等腰三角形， $O$ 为 $A C$ 的中点， $A C = 2$ ， $A B = \sqrt{5}$ ．

(1)、证明：点 $O$ 在平面 $B E D$ 内；

(2)、已知 $∠ A D C = 90 °$ ， $\cos ∠ A B E = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求二面角 $B - A E - D$ 的余弦值．

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20. 设 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12}]$ 上是减函数．

(1)、求 $ω$ ；

(2)、比较 $f (- 6)$ ， $f (0)$ ， $f (6)$ 的大小．

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21. 已知点 $A (0 ， - 3)$ ， $B (0 ， 3)$ ，动点 $M$ 满足直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线；

(2)、经过点 $D (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $| A P | \cdot | A Q |$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (a x) - x + a$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a \leq 1$ 时，证明： $f (x) \leq (x - 1) e^{x - a} - x + a$ ．

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P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	6.635	7.879	10.828