四川省雅安市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 - i$ （i为虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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2. 设集合 $A = {y | y = 2^{x} - 1, x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} - 1 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $[- 1, - 1]$

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3. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶（我国南宋时期的数学家，四川人）算法的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出v的值为（）

A、25 B、100 C、400 D、6

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5. 已知变量x，y之间的线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.7 x + 10.3$ ，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）

x

6

8

10

12

y

6

m

3

2

A、变量x，y之间呈负相关关系 B、可以预测，当 $x = 30$ 时， $\hat{y} = - 10.7$ C、 $m = 4$ D、该回归直线必过点 $(9, 4)$

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6. 在多项式 $(x - 1) {(2 x + 1)}^{4}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、 $- 32$ B、 $32$ C、 $- 16$ D、 $16$

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7. 已知定义在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = - 2 x^{2} + m$ ， $g (x) = - 3 \ln x - x$ ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）

A、2 B、5 C、1 D、0

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8. 函数 $y = a^{3 - x} (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过定点A，若点A在双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 上，则m-n的最大值为（）

A、6 B、4 C、2 D、1

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | > 0)$ ，其图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称且相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5}{12} π$ 对称 B、当 $x = - \frac{π}{12}$ 时，函数 $f (x)$ 的值为 $\sqrt{3}$ C、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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10. 在四面体ABCD中，已知平面 $A B D ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $A B = A D = D B = A C = C B = 4$ ，其外接球表面积为（）

A、 $\frac{40}{3} π$ B、 $\frac{80}{3} π$ C、 $16 π$ D、 $20 π$

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11. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且 $∠ A F B = 60^{\circ}$ ，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $1$

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12. 设 $k > 0$ ，若存在正实数x，使得不等式 $\log_{4} x - k \cdot 2^{k x - 1} \geq 0$ 成立，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e \ln 2}$ B、 $\frac{\ln 2}{e}$ C、 $\frac{e}{\ln 2}$ D、 $\frac{\ln 2}{2}$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系下，若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq - 1 \\ 2 x + y \leq 4 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则其可行域的面积为.

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14. 在 $△ A B C$ ，已知向量 $\vec{A B} = (1, 3)$ ， $\vec{A C} = (2, t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则角B的余弦值为.

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15. 已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 及点 $A (0, 2)$ ，点P、Q分别是直线 $x + y = 0$ 和圆C上的动点，则 $| P A | + | P Q |$ 的最小值为.

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16. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $A D_{1}$ 上运动，给出以下命题：

①异面直线 $C_{1} P$ 与 $B_{1} C$ 所成的角不为定值；

②二面角 $P - B_{1} C - D$ 的大小为定值；

③三棱锥 $D - B P C_{1}$ 的体积为定值；

④平面 $A_{1} C P ⊥$ 平面 $D B C_{1}$ .

其中真命题的序号为.

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q (q \neq 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 14$ ，且 $3 a_{2}$ 是 $2 a_{3}$ 与 $4 a_{1}$ 的等差中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{(\log_{2} a_{n}) \cdot (\log_{2} a_{n + 2})}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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18. 成雅高速铁路（又称成雅高铁）是川藏铁路的重要组成部分，于2018年12月顺利通车，它的开通改变了成都到雅安没有直达铁路的历史，在出行人群中越来越受欢迎现交通部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中采用乘坐成雅高铁出行的占

\frac{2}{3}

(1)、请完成2×2列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐成雅高铁出行与年龄有关”?

	40岁及以下	40岁上	合计
乘成雅高铁		10
不乘成雅高铁
合计	60		100

(2)、为提升服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法选取5人免费到雅安参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望

E (x)

参考公式： $x + f (x - 2 m) > 1$ 参考数据如表：

$P (K^{2} \geq K)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ P C D = 90^{\circ}$ ， $P A = A B = A C = 1$ .

(1)、求证： $A C ⊥ C D$ ；

(2)、点E在棱PC上，满足 $∠ D A E = 60^{\circ}$ ，求二面角 $B - A E - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $P (0 ， 1)$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过定点 $M (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆C相交于A、B两点，已知点 $N (4 ， \frac{3}{2})$ ，设直线 $A N$ 、 $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，判断 $k_{1} + k_{2}$ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = a x - 1 (a \in R)$ .

(1)、若方程 $f (x) - g (x) = 0$ 存在两个不等的实根，求a的取值范围.

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $h (x)$ 的两个零点，证明： $h' (x_{1} x_{2}) < 1 - a$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) - 2 = 0$ ，曲线C的极坐标方程为： $ρ \sin^{2} θ = \cos θ$ ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线 $C_{1}$ .

(1)、求直线 $l$ 和曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于A，B两点，点 $P (2, 0)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | a x - 1 | (a \in R)$ ， $g (x) = 1 - | x |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于x的不等式 $f (x) \leq g (x)$ ；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ 的解集为R，求a的取值范围.

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