陕西省宝鸡市高新区2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \sqrt{2}$ 的相反数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ C、 $- \frac{1}{\sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知∠A=75°，则∠A的补角等于（）

A、125° B、105° C、15° D、95°

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3. 为了让市民出行更加方便，某市政府大力发展公共交通， $2020$ 年该市公共交通客运量约为 $1582000000$ 人次，将 $1582000000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $15.82 \times 10^{8}$ B、 $1.582 \times 10^{9}$ C、 $1.582 \times 10^{10}$ D、 $158.2 \times 10^{7}$

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4. 若正比例函数 $y = 4 x$ 的图象经过点 $A (2 ， 3 - m)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $- 6$ C、 $5$ D、 $- 5$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 ${(x y^{3})}^{2} = x^{2} y^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$ D、 ${(3 m + 1)}^{2} = 9 m^{2} + 3 m + 1$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $B D$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $A D = 10$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $5 + 5 \sqrt{3}$ B、 $5$ C、 $5 + 6 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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7. 在平面直角坐标系中，将函数 $y = 2 x - 1$ 的图象向左平移 $1$ 个单位长度，则平移后的图象与 $y$ 轴的交点坐标为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， - 1)$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ， $A D = 12$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，则 $E D$ 的长为（）

A、 $\frac{21}{8}$ B、 $\frac{21}{4}$ C、 $2$ D、 $\frac{15}{8}$

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9. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 为 $⊙ O$ 的弦，若 $∠ C A B = 51 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $35 °$ C、 $42 °$ D、 $39 °$

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10. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距 $10$ 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为 $y = x^{2} + 8 x + m$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 13$ 或 $- 19$ B、 $- 13$ 或 $- 19$ C、 $13$ 或 $19$ D、 $13$ 或 $- 19$

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二、填空题

11. 如图，直线 $y = - x + 2$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，若 $A O = 2 B O$ ，则反比例函数的表达式为.

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 9$ ，点 $P$ 是矩形 $A B C D$ 内一动点，且 $S_{Δ A B P} = S_{Δ C D P}$ ，则 $P C + P D$ 的最小值为.

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三、解答题

13. 计算： $5 \times \sqrt[3]{- 8} + {(3 - 2 π)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ .

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14. 解分式方程： $\frac{x - 3}{x} - 1 = \frac{2}{x - 3}$ .

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15. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，用尺规在 $B C$ 上求作一点 $P$ ，使 $P$ 到边 $A C$ ， $A B$ 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的两点，且 $B E = D F$ .求证： $A F / / C E$ .

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17. 为响应市上的“创卫”号召，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
学生双休日劳动时间条形统计图

学生双休日劳动时间扇形统计图

请根据图中信息解答下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、扇形统计图中“ $2$ 小时”部分圆心角的度数为；

(3)、求所有被调查的同学劳动时间的中位数和平均数.

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18. 如图，新华中学教学楼 $A C$ 与实验楼 $B D$ 的水平间距 $C D$ 为 $18$ 米，在实验楼顶部 $B$ 点分别测得教学楼顶部 $A$ 点的仰角为 $30 °$ ，底部 $C$ 点的俯角为 $45 °$ ，求教学楼 $A C$ 的高度.

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19. 某工厂每天生产 $A$ ， $B$ 两种款式的布制环保购物袋共 $5000$ 个，已知 $A$ 种购物袋成本为 $2$ 元/个，售价为 $2.4$ 元/个； $B$ 种购物袋成本为 $2.8$ 元/个，售价为 $3.4$ 元/个.设该工厂每天生产 $A$ 种购物袋 $x$ 个，每天共需成本 $y$ 元，共获利 $w$ 元.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、求 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(3)、如果该工厂每天最多投入成本 $12000$ 元，那么每天最多获利多少元？

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20. 一个不透明的袋子中装有标号分别为 $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 的四个小球，这些小球除标号数字外都相同.

(1)、将袋子中的小球摇匀，然后从袋子中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为偶数的小球的概率；

(2)、小明和小华用这四个小球玩摸球游戏，规则是：将袋子中的小球摇匀，小明从袋子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回袋子里，然后再将袋子中的小球摇匀，小华此时从袋子中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字都是奇数，则小明获胜；若两次摸到小球的标号数字都是偶数，则小华获胜；否则，视为平局.若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.

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21. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $∠ B = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线与 $O C$ 的延长线交于点 $P$ .

(1)、求证： $Δ O A C$ 为等边三角形；

(2)、若 $A C = 8$ ，求 $A P$ 的长.

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22. 如图，抛物线 $y = \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，点 $A$ 的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ， $A O = 4 B O$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点 $E$ 在 $x$ 轴上，点 $P$ 在抛物线上，是否存在以 $A$ ， $C$ ， $E$ ， $P$ 为顶点且以 $A C$ 为一边的平行四边形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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23.

(1)、（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE.

填空：

①∠AEB的度数为；

②线段AD、BE之间的数量关系为 .

(2)、拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.

(3)、解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2 $\sqrt{2}$ ，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离.

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