陕西省西安地区八校联考2021届高三下学期理数高考押题试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A、集合 $B = {2 ， 3 ， a ， b}$ ，且 $A \cap B = {3 ， 4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、有可能 $a + b = 8$ B、 $a + b \neq 8$ C、 $a + b < 8$ D、 $a + b > 8$

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2. 在复平面上，若点 $z_{1}$ ､ $z_{2}$ 对应的复数分别为 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = \frac{2 + 4 i}{1 + i}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球，第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次.则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 一个空间几何体的三视图外轮廓均为边长是3的正方形，如图所示，则其表面积为（）

A、 $27 + 9 \sqrt{3}$ B、 $9 + 27 \sqrt{3}$ C、 $27 + 3 \sqrt{6}$ D、 $3 + 9 \sqrt{6}$

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5. 已知 $T_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n (n \in N^{*})$ .则下面算法框图输出的结果是（）

A、47 B、48 C、49 D、50

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6. 已知 $3^{a - 1} + 3^{a - 2} + 3^{a - 3} = 117$ ，则 $(a + 1) (a + 2) (a + 3) =$ （）

A、120 B、210 C、336 D、504

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7. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ，若 $\vec{M D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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8. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b} = 1 (9 < b \leq 18)$ .则椭圆的离心率的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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9. 有下列命题： $p_{1}$ ：幂函数 $g (x) = x^{α} (α \in R)$ 的定义域为实数集 $R$ ； $p_{2}$ ：已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{20}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差 $s^{2} = 0.25$ ，则 $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 5$ ； $p_{3}$ ：若 $f (x)$ 函数的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x) = 0$ 的解为 $x_{i}$ ，则 $x_{i}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点； $p_{4}$ ：变量 $x_{i}$ ， $y_{i}$ 负相关，相关系数为 $r$ ，则 $r$ 越大相关性越弱，越小相关性越强.则真命题为（）

A、 $p_{1} \land p_{2}$ B、 $p_{2} \land p_{4}$ C、 $\neg p_{2} \lor p_{3}$ D、 $p_{3} \lor \neg p_{4}$

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10. 为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图.依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）

A、218.25 B、232.5 C、231.25 D、241.25

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11. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{36 x + 5 π}{24})$ 在闭区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上的最小值和最大值依次为（）

A、 $- \sqrt{2}$ ，2 B、-2， $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ ，0 D、0，2

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12. 已知 ${(x + \frac{a}{x^{2}})}^{6}$ 展开式的常数项的取值范围为 $[135 ， 240]$ ，且 $x^{2} + a \ln x \geq (a + 2) x$ 恒成立.则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， - 3] \cup [3 ， 4]$ B、 $[- 4 ， - 1] \cup [3 ， 4]$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $[- 4 ， - 3]$

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二、填空题

13. 已知随机变量 $ξ$ 的期望为15，则 $E (3 ξ + 5) =$ .

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14. 已知在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C = \frac{\sqrt{3} \sin A \sin B}{\cos C}$ ，则 $\cos 2 C =$ .

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15. 已知直线 $x = a$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为.

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16. 现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩 $n (n \in N^{*}, 16 < n < 20)$ 粒.则红豆和白豆共有粒.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，当 $n \geq 2$ 时 $a_{n} = S_{n} - 2^{n - 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} S_{n}$ ，设 $c_{n} = b_{n} \cdot S_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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18. 某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分.

(1)、①求茎叶图中 $x$ 的值；
②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率；

(2)、如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用 $ξ$ 表示4人中成绩超过235分的人数，求 $ξ$ 的分布列和期望.

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19. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 12$ 与抛物线 $S ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在第一象限）， $| A B | = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求抛物线 $S$ 的方程；

(2)、设过A点的两条直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 关于直线 $x = 2$ 对称，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 与抛物线 $S$ 都有两个不同交点，且另一交点分别为 $M$ 、 $N$ ，求直线 $M N$ 的斜率.

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20. 在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $M$ 为侧棱 $D D_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上一点， $O$ 为下底面 $A B C D E F$ 的中心.

(1)、求证： $M O //$ 平面 $A B D_{1} E_{1}$ ；

(2)、若直线 $D P$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $\tan ∠ D P D_{1}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln 2 x}{x - 2} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）.

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22. 以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线 $C ： ρ^{2} = \frac{4}{1 + 3 \sin^{2} θ}$ ，点 $P (\frac{4}{\sqrt{13}} ， \frac{2 π}{3})$ .在直角坐标系中， $M (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $N (\sqrt{3} ， 0)$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程，并判 $| P M | + | P N |$ 与4的大小关系；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $Q$ 为曲线 $C$ 的右顶点，求 $△ A B Q$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = x | x - 1 | - a | x + 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3 x - 2$ 的解集；

(2)、当 $a = - x$ ， $x \geq 1$ 时， $f (x + 1) \geq m x$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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