江苏省泰州市靖江市2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣2的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算 $3 + (- 4)$ 的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（）

A、 $(- 5) + (- 2)$ B、 $(- 5) + 2$ C、 $5 + 2$ D、 $5 + (- 2)$

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3. 下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（）

A、可回收垃圾 B、其他垃圾 C、有害垃圾 D、厨余垃圾

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4. 下列各式中计算正确的是（）

A、 $x^{2 \cdot} x^{4} = x^{6}$ B、 $x^{5} + 2 x^{5} = 3 x^{10}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ D、 $m^{6} \div m^{2} = m^{3}$

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5. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - m^{2} = 0$ 的两根，下列结论中不一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} > 0$ B、 $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ C、 $x_{1} \neq x_{2}$ D、方程必有一正根

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6. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为（）

A、4.25 B、 $\frac{30}{7}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、4.8

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二、填空题

7. 若分式 $\frac{x - 4}{x + 2}$ 的值为0，则x的值为.

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8. 点 $A (2, - 3)$ 到x轴的距离是．

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9. 我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为.

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10. 正六边形的内角和为度．

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11. 若 $a + b = 1$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 2 b$ 的值为．

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12. 四边形 $A B C D$ 中， $A C = B D$ ，顺次连接它的各边中点所得的四边形是.

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13. 如图，圆锥底面半径为 $r c m$ ，母线长为 $5 c m$ ，侧面展开图是圆心角等于 $216^{°}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径 $r$ 为 $c m$ .

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 中点， $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ，若 $∠ C A B = 40 °$ ，则 $∠ B E D =$ .

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15. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 与x轴交于点B，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点C.且AB＝AC，则k的值为.

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16. 如图在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A C = α$ ， $M$ 是 $A C$ 、 $B D$ 的交点， $P$ 是线段 $B M$ 上的动点（不与点 $B$ 、 $M$ 重合），将线段 $P A$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $2 α$ 得到线段 $P Q$ ，点 $Q$ 恰好在 $C D$ 边上，若要使得 $P Q = Q D$ ，则 $α$ 的范围为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} - {(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | \sqrt{2} - 1 |$ .

(2)、化简： $(\frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2}) \cdot \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ .

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18. 为保护环境“赤子之心”环保公益中心组织1000名学生参加义务收集废旧电池的活动，下面随机抽取50名学生对收集的废旧电池数量进行统计：

废旧电池数/节

3

4

5

6

8

人数/人

10

15

12

7

6

(1)、上述数据中，废旧电池节数的众数是节，中位数是节；

(2)、这次活动中，1000名学生共收集废旧电池多少节？

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19. 在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖.

(1)、从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率为；

(2)、分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率.

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20. 现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金.用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份，如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份.求每次所用的甲种金属的质量.

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21. 港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知 $\sqrt{3}$ ≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）

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22. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A (1 ， a)$ ， $B (- 3 ， c)$ 两点直线 $y = k x + b$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $C$ 、 $D$ 两点.

(1)、直接写出不等式 $k x + b - \frac{m}{x} > 0$ 的解集；

(2)、求 $\frac{m}{a + c}$ 的值；

(3)、求 $C$ 点的坐标.

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23. 已知：如图1， $△ A C D$ 中， $A D \neq C D$ .

(1)、请你以 $A C$ 为一边，在 $A C$ 的同侧构造一个与 $△ A C D$ 全等的三角形 $△ A C E$ ，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)、参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形 $A B C D$ 中① $∠ A C B + ∠ C A D = 180 °$ ；② $∠ B = ∠ D$ ；③ $C D = A B$ .请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是__▲_，结论是_▲（只要填写序号）

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $E$ 是弧 $B D$ 的中点， $A E$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ， $∠ C = 2 ∠ E A B$ .

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\cos C = \frac{2}{3}$ ， $C A = 6$ ，求 $A F$ 的长.

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25. （阅读理解）设点 $P$ 在矩形 $A B C D$ 内部，当点 $P$ 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 $P$ 为该边的“和谐点”例如：如图1矩形 $A B C D$ 中，若 $P A = P D$ ，则称 $P$ 为边 $A D$ 的“和谐点”.

（解题运用）已知点 $P$ 在矩形 $A B C D$ 内部，且 $A B = 10$ ， $B C = 8$ .

(1)、设 $P$ 是边 $A D$ 的“和谐点”，则 $P$ 边 $B C$ 的“和谐点”（填“是”或“不是”）；

(2)、若 $P$ 是边 $B C$ 的“和谐点”连接 $P A$ ， $P B$ ，当 $∠ A P B = 90 °$ 时，求 $P A$ 的长度；

(3)、如图2，若 $P$ 是边 $A D$ 的和谐点”，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ，求 $\frac{1}{\tan ∠ P A B \cdot \tan ∠ P B A}$ 的最大值.

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26. 已知抛物线 $y = x^{2} + (\frac{1}{2} m - 2) x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3 ， 0)$ 、 $B$ 两点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点 $P (2 ， a)$ 在抛物线上时
①如图1，过点 $P$ 且不与坐标轴平行的直线 $l_{1}$ 与抛物线有且只有一个交点，求直线 $l_{1}$ 的方程；

②如图2若直线 $l_{2} ： y = 2 x + b$ 与抛物线的一个交点为 $M$ ，点 $M$ 在点 $P$ 的右侧，过点 $P$ 作 $P Q // y$ 轴交直线 $l_{2}$ 于点 $Q$ ，延长 $M Q$ 到点 $N$ 使得 $M Q = Q N$ ，试判断点 $N$ 是否在抛物线上？请说明理由.

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废旧电池数/节	3	4	5	6	8
人数/人	10	15	12	7	6