湖南省长沙市四大名校名师团队2021届高三下学期数学高考猜题卷A

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | | x | < 2 ， x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 3}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 若 $z = \frac{1 - 2 i}{i}$ ．则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）

一百零八塔全景

A、第5行，呈葫芦状 B、第6行，呈葫芦状 C、第7行，呈宝瓶状 D、第8行，呈宝瓶状

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4. 一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．

A、36 B、48 C、72 D、120

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5. 将函数 $y = \sin x - \cos x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的函数图象，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $y = f (x)$ 的周期是 $π$ D、 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 $\sqrt[5]{5}$ ， $\sqrt[3]{3}$ ， $\sqrt{2}$ ．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）

A、甲同学和乙同学 B、丙同学和乙同学 C、乙同学和甲同学 D、丙同学和甲同学

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7. 有两条互相垂直的直线 $X X^{'}$ 和 $Y Y^{'}$ ，有一条定长的线段 $A B$ ，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点 $P$ 是 $A B$ 上的一个确定点，即点 $P$ 到点 $A$ 和点 $B$ 的距离的比值是一个定值．那么，随着线段 $A B$ 的运动，点 $P$ 的运动轨迹及焦距长为（）

A、椭圆，焦距长为 $| A B |$ B、椭圆，焦距长为 $2 \sqrt{| {| P A |}^{2} - {| P B |}^{2} |}$ C、双曲线，焦距长为 $| 2 | | P A | - | P B | | |$ D、双曲线，焦距长为 $2 \sqrt{P A^{2} + P B^{2}}$

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8. 设函数 $f ： R \to R$ 满足 $f (0) = - 1$ ，且对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，都有 $2 f (x y) + f (y) (f (x) + 1) = 2 (x - 1)$ ．令集合 $A = {(t ， x) | \frac{1}{2} t \cdot (t - f (x)) = 6^{2020} ， t \in N^{*} ， x \in Z}$ ，则集合 $A$ 中的元素个数为（）

A、2020 B、2021 C、4040 D、4042

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二、多选题

9. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）

A、如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体 B、如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体 C、如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法 D、如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等

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10. 设实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $b + c = 6 - 4 a + 3 a^{2}$ ， $c - b = 4 - 4 a + a^{2}$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $c < b$ B、 $b \geq 1$ C、 $b \leq a$ D、 $a < c$

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11. 设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $F$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、若点 $F$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点时， $A C_{1} ⊥ C F$ B、若点 $F$ 与点 $A_{1}$ 重合时，异面直线 $C F$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、若 $A_{1} F = \frac{1}{4} A_{1} C_{1}$ 时，二面角 $F - A B - A_{1}$ 的正切值为 $\frac{1}{4}$ D、若 $F$ 与点 $C_{1}$ 重合时，三棱锥 $C - B D F$ 外接球的表面积为 $3 π$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x$ ， $g (x) = x^{2} - x$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a g (x)$ 的解 $x_{0} \in (0 ， 1)$ ，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、 $- e$ B、-1 C、0 D、1

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ，设 $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $| \vec{c} | =$ ．

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14. 已知 ${(\sqrt[3]{3} + \sqrt{2} x)}^{n} (n \in N^{*} ， 1 \leq n \leq 12)$ 的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个 $n$ 的值．

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = \frac{1}{4}$ ，则满足 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} a_{n + 1} \leq \frac{21}{2}$ 成立的最大正整数 $n$ 的值为．

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16. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线为正方形 $O A B C$ 的边 $O A$ 、 $O C$ 所在的直线，点 $F (\sqrt{2} ， 0)$ 为该双曲线的右焦点，若过点 $F$ 的直线与直线 $O A$ 、 $O C$ 的分别相交于 $M$ 、 $N$ 两点，则 $△ O M N$ 内切圆半径的最大值为．

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{6}$ 、 $\frac{3}{2}$ 、 $a_{7}$ 成等差数列，且 $a_{5} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{a} a_{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最值．

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18. 某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个位置建四座观景台，在凸四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ 千米． $A D = B C = C D = 1$ 千米．

(1)、用 $\cos A$ 表示 $\cos C$ ；

(2)、现要在 $A$ 、 $C$ 两处连接一根水下直管道，已知 $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $△ P D C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、设平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C = l$ ，证明： $D E ⊥ l$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性.2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是 $p (0 < p < 1)$ ．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：
方式一：逐个检测；

方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；

方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；

其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．

（附： ${0.99}^{2} \approx 0.98$ ， ${0.99}^{3} \approx 0.97$ ， ${0.99}^{4} \approx 0.96$ ．）

(1)、假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；

(2)、若 $p = 0.01$ ，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $(m ， 1)$ 在抛物线 $C$ 上，该点到原点的距离与到 $C$ 的准线的距离相等．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且与以焦点 $F$ 为圆心2为半径的圆交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $B$ ， $N$ 在 $y$ 轴右侧．
①证明：当直线 $l$ 与 $x$ 轴不平行时， $| A M | \neq | B N |$

②过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $D$ ，求 $△ D A M$ 与 $△ D B N$ 的面积之积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1) + \ln a$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a \in [1 ， + \infty)$ 时，求证： $f (x)$ 总存在唯一的极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \geq 1$ ．

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