江苏省南京市玄武区2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（）

A、 $0.618 \times 10^{5}$ B、 $6.18 \times 10^{4}$ C、 $61.8 \times 10^{3}$ D、 $618 \times 10^{2}$

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2. 下列计算中，结果是 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 $a^{12} \div a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3}$

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3. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $| a | > b$ C、 $a > | b |$ D、 $| a | < | b |$

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4. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $B C / / O A$ ， $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $P$ 是 $A B$ 边上一点，在 $A C$ 边上求作一点 $Q$ ，使得 $△ A Q P \sim △ A B C$ .甲的作法：过点 $P$ 作 $P Q / / B C$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，则点 $Q$ 即为所求.乙的作法：经过点 $P$ ， $B$ ， $C$ 作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，则点 $Q$ 即为所求.对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（）

A、甲错误，乙正确 B、甲正确，乙错误 C、甲、乙都错误 D、甲、乙都正确

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6. 已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ （ $k_{1}$ ， $b_{1}$ 为常数， $k_{1} \neq 0$ ）， $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ （ $k_{2}$ ， $b_{2}$ 为常数， $k_{2} \neq 0$ ）的图象如图所示，则函数 $y = y_{1} \cdot y_{2}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. －3的相反数是； $\frac{1}{3}$ 的倒数是.

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8. 若式子 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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9. 分解因式： $2 a^{2} - 8 =$ ．

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10. 计算 $\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{12}}{\sqrt{2}}$ 的结果是．

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11. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 的两个根，且 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = 2$ ，则 $m =$ .

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12. 圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是.

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13. 如图，在正五边形 $A B C D E$ 中， $M$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A C$ ， $A M$ ，则 $∠ C A M$ 的度数是.

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14. 如图，点 $A$ ， $B$ 在反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，连接 $A C$ ， $B C$ ，且 $A C / / x$ 轴， $B C / / y$ 轴， $A C = B C$ .若点 $A$ 的横坐标为2，则 $k$ 的值为.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $D C$ 边上的点，若 $⊙ O$ 经过点 $A$ ，且与 $B C$ ， $D C$ 分别相切于点 $M$ ， $N$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ， $D E$ ，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，使得点 $B$ 落在 $D E$ 上的点 $B'$ 处，连接 $A B'$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$ ，则 $\frac{A B'}{B' F}$ 的值为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $- 1^{4} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} \times \sqrt{12} - 4 \cos 30 °$ ；

(2)、 $(a - \frac{1}{a}) \div (a - 2 + \frac{1}{a})$ .

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 + 3 x < 13 \\ \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{2} \leq 2 \end{array}$ ，并写出它的正整数解.

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19. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

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20. 随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位： $° C$ ）进行了统计，得到下列统计图.

(1)、小明家这5个月的月平均用水量为吨.

(2)、下列四个推断：
①当地当年月平均气温的极差为 $20 ° C$ ；

②当地当年月平均气温的中位数为 $17.5 ° C$ ；

③当地当年月平均气温的平均数在 $15 ° C ~ 25 ° C$ 之间；

④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大.

所有合理推断的序号是.

(3)、如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由.

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21. 一个 $3 \times 3$ 的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子.

(1)、如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为；

(2)、如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率.

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的点，且 $B E = D F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ .

(1)、求证 $△ A D E ≅ △ C B F$ ；

(2)、连接 $A F$ ， $C E$ ，若 $A B = A D$ ，求证：四边形 $A F C E$ 是菱形.

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23. 如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为 $1 m$ ，垂直高度都为 $0.3 m$ .测得在 $C$ 点的仰角 $∠ A C E = 42 °$ ，测得在 $D$ 点的仰角 $∠ A D F = 35 °$ .求银幕 $A$ 的高度.（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.7$ ， $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.9$ ）

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24. 某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到 $220 ° C$ 时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至 $140 ° C$ 时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机.已知早餐机的机内初始温度为 $20 ° C$ ，降温温度是加热速度的2倍.早餐机的机内温度 $w (° C)$ 与开机之后的时间 $t (s)$ 之间的函数关系部分图象如图所示.

(1)、早餐机的加热速度为 $° C/s$ ；

(2)、求线段 $A B$ 所表示的 $w$ 与 $t$ 之间的函数表达式；

(3)、将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于 $180 ° C$ 的累计时间不少于 $45 s$ ，至少需要 $s$ .

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25. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} - m + 2$ （ $m$ 是常数）.

(1)、若该函数图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点，求 $m$ 的取值范围；

(2)、求证：不论 $m$ 为何值，该函数图象的顶点都在函数 $y = - x + 2$ 的图象上；

(3)、 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是该二次函数图象上的点，当 $1 < x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $y_{2} < y_{1} < 1$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 交 $A C$ 边于点 $E$ ，垂足为 $D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ ，连接 $E F$ ，经过点 $D$ ， $E$ ， $F$ 的 $O$ 与边 $B C$ 另一个公共点为 $G$ .

(1)、连接 $G F$ ，求证 $△ B G F \sim △ D E F$ ；

(2)、若 $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $\tan C = 2$ .
①当 $C D = 1.5$ 时，求 $O$ 的半径；

②当点 $D$ 在 $B C$ 边上运动时， $O$ 半径的最小值为 ▲ .

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27. 八上教材给出了命题“如果 $△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高，那么 $A D = A^{'} D^{'}$ ”的证明，由此进一步思考……
（问题提出）

(1)、在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高，如果 $B C = B^{'} C^{'}$ ， $∠ B A C = ∠ B^{'} A' C^{'}$ ， $A D = A^{'} D^{'}$ ，那么 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 全等吗？
（i）小红的思考

如图，先任意画出一个 $△ A B C$ ，然后按下列作法，作出一个满足条件的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，作法如下：

①作 $△ A B C$ 的外接圆 $O$

②过点 $A$ 作 $A A^{'} / / B C$ ，与 $O$ 交于点 $A^{'}$

③连接 $A^{'} B^{'}$ （点 $B^{'}$ 与 $C$ 重合）， $A^{'} C^{'}$ （点 $C^{'}$ 与 $B$ 重合），得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$

请说明小红所作的 $△ A^{'} B^{'} C^{'} ≅ △ A B C$ .

（ii）小明的思考

如图，对于满足条件的 $△ A B C$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和高 $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ ；小明将 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 通过图形的变换，使边 $C^{'} B^{'}$ 与 $B C$ 重合， $A^{'} B^{'}$ ， $A B$ 相交于点 $M$ ，连接 $A^{'} A$ ，易证 $A^{'} A / / B C$

接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

(2)、小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.
如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高，（ $A D < A^{'} D^{'}$ ），且 $∠ B A C = ∠ B^{'} A' C^{'}$ ， $\frac{A D}{A' D^{'}} = \frac{B C}{B' C^{'}}$ ，求证： $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

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