湖北省武汉市武昌区2021届高三下学期数学5月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - 2 x < 0}$ ， $B = {x \in R | 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 4}$ B、 ${x | 0 < x \leq 4}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 2 < x \leq 4}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 垂直的是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(- 3 ， - 1)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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3. 复数 $\frac{4 i}{1+ \sqrt{3} i}$ 的虚部为（）

A、1 B、－1 C、－i D、i

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4. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{m + 2} = 1 (m > 0)$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(1, 2)$ C、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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5. 2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度 $h$ 与其采摘后的时间 $t$ (天)满足关系式： $h = m \cdot a^{t}$ .若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（）(已知 $\lg 2 \approx 0.3$ ，结果四舍五入取整数)

A、23天 B、33天 C、43天 D、50天

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6. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩 $ξ ~ N (110, σ^{2})$ ，若 $P (100 \leq ξ \leq 110) = 0.35$ ，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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7. ${(x + \frac{1}{x^{2}} - 1)}^{4}$ 展开式中常数项为（）.

A、11 B、-11 C、8 D、-7

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8. 桌面上有三个半径为2021的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的半径是（）

A、 $\frac{2021}{4}$ B、 $\frac{2021}{3}$ C、 $\frac{2021}{2}$ D、2021

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二、多选题

9. 某学校为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲､乙两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分(得分越高，说明该项教育越好).下列说法正确的是（）

	德	智	体	美	劳
甲班	9.5	9.5	9	9.5	8
乙班	9.5	9	9.5	9	8.5

A、甲班五项得分的极差为1.5 B、甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数 C、甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数 D、甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差

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10. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ ，则实数 $ω$ 的值可能取（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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11. 已知 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点.设 $P$ 是准线上的动点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，则（）

A、 $| A B |$ 的最小值为4 B、直线 $A B$ 过点 $F$ C、 $P M ⊥ y$ 轴 D、线段 $A B$ 的中垂线过定点

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12. 已知实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + 2 z = 1$ ，且 $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} z^{2} ＝ 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x$ 的最小值为 $- \frac{4}{5}$ B、 $z$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $z$ 的最小值为 $- \frac{1}{5}$ D、 $x y z$ 取最小值时 $z = \frac{16}{27}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} + a_{n} = 4$ ，则 $S_{4} =$ .

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14. 抛掷3个骰子，事件 $A$ 为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件 $B$ 为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则 $P (A | B) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = a x - x \sin x - 2 \cos x$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 如图，在边长为2的正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $G_{1} G_{2}$ 、 $G_{2} G_{3}$ 的中点.若沿 $S E$ 、 $S F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为 $G$ ，则：

(1)、三棱锥 $S - E F G$ 外接球的表面积为；

(2)、点 $G$ 到平面 $S E F$ 的距离为.

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四、解答题

17. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} \in (0, 2)$ ， $a_{n}^{2} + 3 a_{n} + 2 = 6 S_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在① $\cos B = - \frac{3}{5}$ ；② $b + c = 2 \sqrt{3}$ ；③ $a = \sqrt{6}$ ，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出 $Δ A B C$ 的面积.
问题：在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $a \sin C = \sqrt{3} c \cdot \cos A$ ，补充的条件是 ▲ 和 ▲ .

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在线段 $C D_{1}$ 上， $C E = 2 E D_{1}$ ，点 $F$ 为线段 $A B$ 上的动点， $A F = λ F B$ ，且 $E F / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ .

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、求二面角 $E - D F - C$ 的余弦值.

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20. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

(1)、求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)、若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C$ 上两点， $O$ 为坐标原点， $k_{O A} \cdot k_{O B} = - \frac{1}{2}$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，连接 $O D$ 并延长交椭圆 $C$ 于E ，试问 $\frac{| O E |}{| O D |}$ 是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处的切线方程；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $- \frac{1}{e} < a < - \frac{2}{e^{2}}$ 时，求证： $| x_{1} - x_{2} | < (e^{2} + 1) a + 4$ .

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