河南省郑州市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | 3^{x} < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | x \geq - 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x < 0}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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2. 1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数 $z = e^{\frac{π}{4} i}$ ，根据欧拉公式可知， $\frac{z}{1 - i}$ 表示的复数的虚部为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} i$

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3. 若直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 是函数 $f (x)$ 的一条切线，则函数 $f (x)$ 不可能是（）

A、 $f (x) = e^{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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4. 函数 $f (x) = \ln | x | + \frac{1}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零，且 $a_{3}^{2} = a_{1} a_{7}$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则 $\frac{S_{n}}{a_{1}} =$ （）

A、 $\frac{n (n + 3)}{4}$ B、 $\frac{n (n - 3)}{4}$ C、 $\frac{n (n - 1)}{2}$ D、 $n (n - 1)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}}$ ， $a = f (2^{0.3})$ ， $b = f ({0.2}^{0.3})$ ， $c = f (\log_{0.3} 2)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 若 $x$ 、 $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 y + 15 \geq 0 \\ y \leq - x + 11 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，当且仅当 $x = 5$ ， $y = 6$ 时， $z = a x - y$ 取最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{5}{3})$ B、 $(- \frac{3}{5} ， 1)$ C、 $(- 1 ， \frac{3}{5})$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{3}{5} ， + \infty)$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = f (\frac{n π}{6})$ ，其中 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{2021}$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知等腰三角形 $△ A B C$ 的斜边 $B C = 4$ ，沿斜边的高线AD将 $△ A B C$ 折起，使二面角 $B - A D - C$ 为 $\frac{π}{3}$ ，则四面体ABCD的外接球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3} π$ B、 $\frac{28 \sqrt{21}}{27} π$ C、 $\frac{28}{3} π$ D、 $\frac{28}{9} π$

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10. 已知A，B是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2} (k_{1} k_{2} \neq 0)$ .若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $| k_{1} | + | k_{2} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E \in$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，点F是线段 $A A_{1}$ 的中点，若 $D_{1} E ⊥ C F$ ，则 $△ E B C$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) = f (3 x)$ ，当 $x \in [\frac{1}{3} ， 1)$ 时， $f (x) = \ln 3 x$ ，若在区间 $[\frac{1}{3} ， 9)$ 内，函数 $g (x) = f (x) - a x$ 有四个不同零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{\ln 3}{3} ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{\ln 3}{9} ， \frac{1}{3 e})$ C、 $(\frac{\ln 3}{9} ， \frac{1}{2 e})$ D、 $(\frac{\ln 3}{9} ， \frac{\ln 3}{4})$

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二、填空题

13. 在矩形ABCD中，其中 $A B = 3$ ， $A D = 1$ ，AB上的点E满足 $\vec{A E} + 2 \vec{B E} = \vec{0}$ ，F为AD上任意一点，则 $\vec{E B} \cdot \vec{B F} =$ .

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14. ${(a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{4}} - a^{- \frac{7}{6}} b^{\frac{2}{3}})}^{9}$ 展开式中的a与b指数相同的项的表达式为.

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线 $l$ 与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B， $\vec{A Q} \cdot \vec{A B} = \vec{A Q} \cdot \vec{F B}$ ，且 $\vec{B Q} = 4 \vec{F Q}$ ，则双曲线的离心率 $e$ 为.

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16. 1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得 $A C = D B = \frac{1}{3} A B$ ，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC､ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为 $S_{n}$ ，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有 $S_{n} < 2021$ ，则a的最大值为.

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 9$ ， $\cos B = \frac{2}{3}$ ，点D在BC边上， $A D = 7$ ， $∠ A D B$ 为锐角.

(1)、求 $B D$ ；

(2)、若 $∠ B A D = ∠ D A C$ ，求 $\sin C$ 的值及CD的长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = C D = 1$ ，E是PB的中点.

(1)、求证：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P C > 1$ ，直线PA与平面 $E A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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19. 手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1)：

产品的性能指数在[50，70)的称为A类芯片，在[70，90)的称为B类芯片，在[90，110]的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.

(1)、在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；

(2)、该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用

x_{i}

；和年销售量

y_{i}

(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示.

（i）利用散点图判断， $y = a + b x$ 和 $y = c \cdot x^{d}$ (其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；

（ii）对数据作出如下处理：令 $u_{i} = \ln x$ ， $v_{i} = \ln y$ ，得到相关统计量的值如下表：

$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} u_{i} v_{i}$
150	725	5500	15750	16	25	56	82.4

根据（i）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；

（iii）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y(万件)的预报值.(参考数据： $e^{3.4} = 30$ )

参考公式：对于一组数据 $(u {}_{1}， v_{1})$ ， $(u {}_{2}， v_{2})$ ，…， $(u {}_{n}， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 和圆 $E ： x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ，过抛物线上一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，作圆E的两条切线，分别与x轴交于A､B两点.

(1)、若切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；

(2)、若 $y_{0} \geq 2$ ，求△ $P A B$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明：对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} (\ln x + \frac{1}{x}) - (e^{x} + x) + \frac{4 e^{x - 2}}{x} > 0$ 恒成立.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (1 + 3 \sin^{2} θ) = 4$ ．

(1)、写出直线 $l$ 和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，若直线 $l$ 与曲C线交于P、Q两点，PQ中点为M，求 $\frac{| A P | + | A Q |}{| A M |}$ 的值

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | 2 x - 4 |$ ．

(1)、在平面直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若对 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq t$ 恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足 $a + 2 b + 3 c = m$ ，求 $\frac{1}{a + c} + \frac{2}{b + c}$ 的最小值．

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