河南省安阳市2021届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \frac{1}{\sqrt{5 - x^{2}}}} ， B = {x | x^{2} - 5 x - 14 > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[2 ， 7]$ B、 $[- \sqrt{5} ， 2)$ C、 $[- 2 ， \sqrt{5})$ D、 $\emptyset$

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2. 复数 $z = \frac{{(2 i - 1)}^{2}}{- 1 - 2 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 设函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty), (x_{1} \neq x_{2})$ 有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则（）

A、 $f (- 2) < f (- 3) < f (1)$ B、 $f (- 3) < f (- 2) < f (1)$ C、 $f (- 1) < f (- 2) < f (3)$ D、 $f (- 1) < f (3) < f (- 2)$

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5. 已知 $\frac{2 \cos (2 α + \frac{π}{3})}{\sin (α + \frac{π}{6})} = 7$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 自2021年1月1日起，《中华人民共和国民法典》开始施行，为了解某市市民对《中华人民共和国民法典》的了解情况，决定发放3000份问卷，并从中随机抽取200份进行统计，已知该问卷满分100分，通过对随机抽取的200份问卷成绩进行统计得到了如图所示的频率分布直方图，估计这3000份问卷中成绩不低于80分的份数为（）

A、840 B、720 C、600 D、540

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{11} = 22$ ，则 $\frac{3}{2} a_{4} + \frac{1}{2} a_{12} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. $(x^{3} - 2) {(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数为（）

A、6 B、10 C、13 D、15

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9. 用平面 $α$ 截棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，所得的截面的周长记为 $m$ ，则当平面 $α$ 经过正方体的某条体对角线时， $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10. 在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过 $P B$ 的中点 $M$ 到 $H^{'}$ ，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线， $P O = 2$ ，底面圆O的面积为16π， $H H^{'}$ 为底面圆 $O$ 的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左､右顶点分别为 $A, B$ 点 $P, Q$ 是双曲线 $C$ 上关于 $x$ 轴对称的两点，且直线 $P Q$ 经过点 $F$ .如果 $M$ 是线段 $F Q$ 上靠近点 $Q$ 的三等分点， $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $E, A, M$ 三点共线， $P, E, B$ 三点共线，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、6

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12. 已知向量 $\vec{a} = (\cos 2 x ， m)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， 4 x - 2 \cos x - 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - 3 x$ ，且当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 单调递增，则实数 $m$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 6 \geq 0 \\ 3 x + y - 3 \leq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x - y$ 的最大值为.

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14. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 上， $| A C | = | B C | = 5 \sqrt{2}$ ，若以直线 $A B$ 为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $△ A B C$ 旋转所形成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} + V_{2} =$ .

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15. 若存在 $x_{0} \in (- 1 ， 2)$ ，满足 $\ln \frac{x_{0} + 1}{3} > a x_{0} - 2 a$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + c \sin A = 0$ ，则 $\tan A + \tan B$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} + 9 n, b_{n} = 2^{\frac{a_{n}}{3} - 1}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图①，在平面四边形 $S B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D ⊥ S B$ ，且 $A D = A B = 2 B C$ ，将 $△ S A D$ 沿 $A D$ 折起得到四棱锥 $P - A B C D$ ，如图②，且 $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E //$ 平面 $P A B$ .

(2)、若 $P A = P B = 5$ ， $A B = 6$ ，问：在线段 $C D$ 上是否存在一点 $G$ 使二面角 $G - P A - B$ 为 $\frac{π}{4}$ ？若存在，求出线段 $G C$ 的长；若不存在，请说明理由.

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19. 乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技.
（Ⅰ）若高三（1）班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率.

（Ⅱ）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $p$ ， $1 - p$ ，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记 $ξ$ 为在这次对抗中高三（1）班3名选手获胜的人数， $P (ξ = 0) = \frac{1}{12}$ .

（ⅰ）求 $p$ ；

（ⅱ）求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E (ξ)$ .

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $C$ 上一点，点 $M$ ， $N$ 关于 $y$ 轴对称，且 $\vec{M N} = \vec{A B}, | \vec{M N} | = 4, △ P A B$ 的面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $P M, P N$ 分别交 $x$ 轴于点 $D, E$ ，若 $| A D |, | D E |, | E B |$ 成等比数列，求点 $M$ 的纵坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x e^{x} + x - a$ （ $a \in R$ ）.
（Ⅰ）若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意 $x > 0$ 都有 $f (x) < x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的最大整数值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 过点 $M (1, 0)$ 且倾斜角为 $α$ ．
（Ⅰ）求出直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的普通方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\frac{| M A | \cdot | M B |}{‖ M A | - | M B ‖} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\cos α$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 1 | - 3 | x - 2 |$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 2 x + | x - 2 |$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 14 m - 3 m^{2} - 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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